Множество и класс

[bigarcus]

Ну, хорошо. A={1,A}

Пусть А={1,{1}}. Это множество содержит само себя.

Но при перечислении элементов, что составляет один из способов задания множеств, пречислять дважды один и тот же элемент нет нужды. То есть A={1,{1}}={1}.

Это означает что каждое множество содержит себя в качестве подмножества.

Правильно?

-- Вс окт 17, 2010 19:49:36 --

Почему отсюда не следует что любое множество не является множеством, а является классом. Чушь какая-то. Пожалуйста, поправьте.

[Xaositect]

bigarcus в сообщении #363029 писал(а):

Пусть А={1,{1}}. Это множество содержит само себя.

Нет.

bigarcus в сообщении #363029 писал(а):

{1,{1}}={1}

Нет.

[bigarcus]

А это как множество содержащее само себя правильно: A={1,A} ?

Не получается что рекурентно до бесконечности подстановками можно его задать: A={1,{1,{1,....}}}
Но ведь там будут одни единицы, зачем же писать один и тот же элемент больше одного раза для задания множества?

Сильно благодарен, чувствую что запутался.

-- Вс окт 17, 2010 20:07:39 --

И ведь "каждое множество является своим подмножеством" - это же верно!?

[AD]

$1\neq\{1\}$. $\{1\}\neq\{\{1\}\}$. Всё вас учить надо

[Виктор Викторов]

(Оффтоп)

AD в сообщении #363045 писал(а):

Всё вас учить надо

Конечно, а куда деваться-то?

[Xaositect]

bigarcus в сообщении #363034 писал(а):

И ведь "каждое множество является своим подмножеством" - это же верно!?

Это верно.

[bigarcus]

Почему всякое множество является свои подмножеством?
Мое 'наивное' понимание предполагает что как будто в множестве содержится оно само и ещё что-то; но получается что этого чего-то нет и что его не нужно. Не понимаю.

И почему {1}={1{1}} неверно?
Может просто запись перечисления через запятую?
{1}={1,{1}} это верно?

Например, N - множество всех натуральных чисел.
Ведь я могу его представить как, например N={P,Q},
где P={1,2,3}, а Q={4,5,6,...}. То есть 'разбить' N.

Но тогда N={1,2,3,{4,5,6,...}}={1,2,3,4,5,6,...}
Верно ли? Можете ли мне посоветовать что-нибудь, пожалуйста.

[Joker_vD]

Хорошо. Давайте разбираться. Ответьте на два вопроса:

1. Что является элементами множества $\{\,1\,\}$? Сколько их?
2. Что является элементами множества $\{\,1, \{\,1\,\} \,\}$? Сколько их?

Ответы — под катом. Не спешите туда.

(Оффтоп)

1. Элементом является число $1$. В этом множестве один элемент.
2. Элементами являются число $1$ и множество $\{\,1\,\}$. В этом множестве два элемента.

[Виктор Викторов]

bigarcus в сообщении #363135 писал(а):

Почему всякое множество является свои подмножеством?
Мое 'наивное' понимание предполагает что как будто в множестве содержится оно само и ещё что-то; но получается что этого чего-то нет и что его не нужно. Не понимаю.

Множество $A$ является подмножеством множества $B$ тогда и только тогда, когда каждый элемент множества $A$ есть элемент множества $B$.

Примеры:

$A=(16, 25)$ подмножество множества $B=[ 16, 25)$.
$A=(16, 25)$ подмножество множества $A=(16, 25)$.

bigarcus в сообщении #363135 писал(а):

Например, N - множество всех натуральных чисел.
Ведь я могу его представить как, например N={P,Q},
где P={1,2,3}, а Q={4,5,6,...}. То есть 'разбить' N.

Сложный случай. N - множество всех натуральных чисел. Действительно, объединение P={1,2,3} и Q={4,5,6,...} дает множество всех натуральных чисел. Но множество {P,Q} не есть множество всех натуральных чисел. Множество {P,Q} содержит два элемента P и Q. И то, что каждый из этих элементов является множеством не имеет для множества {P,Q} значения.

bigarcus в сообщении #363135 писал(а):

Но тогда N={1,2,3,{4,5,6,...}}={1,2,3,4,5,6,...}

Вранье! Элементы Вашего нового множества N: 1,2,3 и {4,5,6,...}. Ещё раз {4,5,6,...} - множество, но и элемент Вашего множества N.
{1,2,3,{4,5,6,...}} и {1,2,3,4,5,6,...} два различных множества. Например, во втором есть элемент 5, а в первом его нет. В первом есть элемент {4,5,6,...}, а во втором его нет.

[bigarcus]

Извините что много вопросов, большинство из них раньше не 'вычерчивались', а появились когда думал как отвечать на вопросы.

1. В принципе понятно (я ответил правильно), но понятно не до конца.
А именно следующее свойство: "Пустое множество является подмножеством любого множества".
Во-первых, правильно ли я понимаю что это положение всегда подразумевается и не пишется по договоренности для экономии? То есть, например, говоря M={1} мы подразумеваем M={$\varnothing$,1} (и поэтому часть ответа на вопрос №1 "В этом множестве один элемент", а не "В этом множестве два элемента").
Во-вторых, я не понимаю (зачем) откуда необходимость включать во всякое множество $\varnothing$.
В третьих, не понимаю почему $\varnothing$ является множеством, а не просто особым элементом.

2. Некоторое время думал и догадался что считал неправильно (раньше я бы ответил что и во множестве {1,{1}} один элемент), так что ответ и тут у меня (теперь!) правильный. Я Вам очень благодарен!
Маленькое сомнение: абсолютно ли правильно то, что для того, чтобы ответить что во множестве {1,{1}} элемента два нам даже не нужно знать элементы множества во внутренних фигурных скобках, то есть и в {1,{N}} элемента два, даже если N-множество всех натуральных чисел?

3. Я не понимаю: когда множество является заданным?
Например, человек X подумал о некоторых объектах или явлениях (пусть:{7, сырок, дождь}).
Даже не зная о каких объектах он думал, можно это множество определить через свойство (это же один из способов задания множеств!): "множество элементов, о которых подумал X в такой-то промежуток времени".
Я читал что "множество задано тогда, когда относительно всякого объекта мы можем сказать, является ли он элементом данного множества". Но когда мы не знаем о чём думал X, мы не можем ответить на такие вопросы. Считается ли однако при этом множество заданным свойством "мн-во эл-в, о к-ых думал X"?
То есть я понимаю что бесконечные множества нельзя задать перечислением, и мы пользуемся заданием свойств этих элементов; а когда множество маленькое проще часто задать его перечислением.
Но как так, что когда можно воспользоваться обоими методами, какой-то из них может не работать?

[Xaositect]

bigarcus в сообщении #363242 писал(а):

А именно следующее свойство: "Пустое множество является подмножеством любого множества".
Во-первых, правильно ли я понимаю что это положение всегда подразумевается и не пишется по договоренности для экономии? То есть, например, говоря M={1} мы подразумеваем M={$\varnothing$,1} (и поэтому часть ответа на вопрос №1 "В этом множестве один элемент", а не "В этом множестве два элемента").

Нет. Запись $M = \{\varnothing, 1\}$ подразумевает, что $\varnothing$ является элементом $M$. Пустое множество не является элементом любого множества. Однако оно является подмножеством любого множества, т.к. любой элемент пустого множества входит в $M$ (прочувствуйте это: предложение с квантором общности по пустому множеству всегда верно).

bigarcus в сообщении #363242 писал(а):

Маленькое сомнение: абсолютно ли правильно то, что для того, чтобы ответить что во множестве {1,{1}} элемента два нам даже не нужно знать элементы множества во внутренних фигурных скобках, то есть и в {1,{N}} элемента два, даже если N-множество всех натуральных чисел?

Да.

bigarcus в сообщении #363242 писал(а):

Я читал что "множество задано тогда, когда относительно всякого объекта мы можем сказать, является ли он элементом этого множества." Но когда мы не знаем о чём думал X, мы не можем ответить на такие вопросы. Считается ли однако при этом множество заданным свойством "мн-во эл-в, о к-ых думал X"?

Ну как же. Мы можем спросить X, о думал ли он об объекте, и сказать, принадлежит ли элемент множеству :) Ну или если мы умеем читать мысли.
Вот, скажем, множество всех работающих бесконечно программ - это тоже множество, хотя мы не можем глядя на программу сказать, зациклится она или нет. Но если предположить, что у нас в запасе бесконечно много времени, то на этот вопрос мы ответить можем.
Или, скажем, множество всех действительных чисел или множество всех подмножеств действительной прямой. Тут вообще объекты в общем случае могут быть непредставимы в конечном виде. Но тем не менее множество мы считаем заданным. Если представить, что объект нам все-таки дали (несмотря на то, что он бесконечный и вообще не может уложиться в мозг), мы можем сказать, что он принадлежит множеству, либо не принадлежит.
В общем, по поводу "можем сказать" это философия. То есть на самом деле смысл в том, что каждый объект либо строго принадлежит множеству, либо строго не принадлежит, и не бывает промежуточных вариантов "почти принадлежит" "наполовину принадлежит" "по четным принадлежит, а по нечетным будет рыбу ловить" и т.п.

[bigarcus]

"...предложение с квантором общности по пустому множеству всегда верно."
Квантор общности и квантор всеобщности это одно и то же?
В математической записи Вы имели в виду, что $\forall \varnothing P(\varnothing)$=1, то есть истинно при любом предложении P?
Мне не удается прочувствовать.

По поводу задания множества: то есть множество задано когда всякий объект или входит в него или не входит, без промежуточного состояния, но и без необходимости нашего знания о том, именно входит он или не входит?

-- Ср окт 20, 2010 14:52:30 --

Я не понимаю разницы между:
$\varnothing$, {$\varnothing$}, {$\varnothing$,{$\varnothing$}}

Можете, пожалуйста, объяснить разницу или сказать что прочитать/над чем подумать. Я читал всякие введения в теорию множеств, в основном все сводились к операциям над множествами и картинкам (диаграммам). Я ничего другого не видел, однако, думается, теория множеств не в этом состоит или этим не исчерпывается. Что Вы изучали для понимания таких тонкостей (нет, не тонкостей, а необходимых для понимания вещей!)?

[Виктор Викторов]

Отвечаю по частям (время поджимает).

bigarcus в сообщении #363905 писал(а):

Я не понимаю разницы между:
$\varnothing$, {$\varnothing$}, {$\varnothing$,{$\varnothing$}}

$\varnothing$ - пустое множество. Элементов нет. Только оно само и является своим подмножеством.

{$\varnothing$} В этом множестве один элемент $\varnothing$. Его подмножествами являются $\varnothing$ и оно само т. е. {$\varnothing$}. Итак, {$\varnothing$} имеет один элемент и в нем содержатся два подмножества.

{$\varnothing$,{$\varnothing$}} Это множество имеет два элемента: 1) $\varnothing$ - пустое множество, 2) {$\varnothing$}. Его подмножествами являются $\varnothing$, {$\varnothing$}, {{$\varnothing$}} и само множество {$\varnothing$,{$\varnothing$}} , - всего четыре подмножества.

Мне надо исчезнуть на два часа. Вернусь, пойдём дальше. Вы задаете хорошие вопросы, но и самому нужно больше думать и читать.

Рассмотрим множества: $\varnothing$, {g}, {g, {g}} сделайте такую же таблицу.

[Xaositect]

bigarcus в сообщении #363905 писал(а):

"...предложение с квантором общности по пустому множеству всегда верно."
Квантор общности и квантор всеобщности это одно и то же?
В математической записи Вы имели в виду, что $\forall \varnothing P(\varnothing)$=1, то есть истинно при любом предложении P?
Мне не удается прочувствовать.

Я имел в виду, что при любом $P$ истинно $(\forall x\in \varnothing) P(x)$. Например: множество марсиан пусто, тогда все марсиане зеленые. Просто потому что их все равно нет.

Цитата:

По поводу задания множества: то есть множество задано когда всякий объект или входит в него или не входит, без промежуточного состояния, но и без необходимости нашего знания о том, именно входит он или не входит?

Я уже говорил, что это философский вопрос. Я бы сказал, что есть некий глобальный оракул, который для каждого объекта и каждого множества говорит, принадлежит ли объект множеству или нет. В теории NBG этот оракул формализован в виде класса-отношения принадлежности.

Цитата:

Я не понимаю разницы между:
$\varnothing$, {$\varnothing$}, {$\varnothing$,{$\varnothing$}}

Можете, пожалуйста, объяснить разницу или сказать что прочитать/над чем подумать.

Вот у нас есть пустое множество $\varnothing$. В нем никаких элементов нет. Ну, раз у нас оно есть, мы можем взять его и составить множество, которое его сожержит, а все остальное нет. Т.е. $\{\varnothing\}$. Это множество непусто, т.к. оно содержит один элемент. Теперь у нас есть уже два различных множества $\varnothing$ и $\{\varnothing\}$. Мы можем из них составить пару $o_2 = \{\varnothing, \{\varnothing\}\}$. Это множество непусто, т.к. в нем есть элементы, и отлично от $\{\varnothing\}$, т.к. $o_2$ содержит$\{\varnothing\}$ в качестве элемента, а $\{\varnothing\}$ самого себя не содержит (оно содержит только $\varnothing$, и больше ничего).
$\varnothing$ не сожержит элементов, $\{\varnothing\}$ содержит один элемент, а $o_2$ содержит два различных элемента.

Цитата:

Я читал всякие введения в теорию множеств, в основном все сводились к операциям над множествами и картинкам (диаграммам). Я ничего другого не видел, однако, думается, теория множеств не в этом состоит или этим не исчерпывается. Что Вы изучали для понимания таких тонкостей (нет, не тонкостей, а необходимых для понимания вещей!)?

Можете почитать Мендельсона "Введение в математическую логику". Мне кажется, там довольно хорошо все разжевано.

[Виктор Викторов]

Xaositect в сообщении #363919 писал(а):

Вот у нас есть пустое множество $\varnothing$. В нем никаких элементов нет. Ну, раз у нас оно есть, мы можем взять его и составить множество, которое его сожержит, а все остальное нет. Т.е. $\{\varnothing\}$. Это множество непусто, т.к. оно содержит один элемент. Теперь у нас есть уже два различных множества $\varnothing$ и $\varnothing$.

Осторожно. Вы хотели сказать Теперь у нас есть уже два различных множества $\varnothing$ и {$\varnothing$}?

bigarcus в сообщении #363905 писал(а):

Можете, пожалуйста, объяснить разницу или сказать что прочитать/над чем подумать. Я читал всякие введения в теорию множеств, в основном все сводились к операциям над множествами и картинкам (диаграммам). Я ничего другого не видел, однако, думается, теория множеств не в этом состоит или этим не исчерпывается. Что Вы изучали для понимания таких тонкостей (нет, не тонкостей, а необходимых для понимания вещей!)?

Я думаю Вам рано читать Мендельсона "Введение в математическую логику" . Я бы рекомендовал книги Шихановича, «Введение в современную математику» и «Введение в математику». Одну из них можно легко найти в сети. Обратите внимание не только на теорию множеств, но и на математическую логику. Особенно на то, как работает импликация.