Методы математической физики

[s.o.s.]

Здравствуйте! Я вот что хочу спросить. Допустим, я хочу самостаятельно вывести "телеграфное уравнение" или "уравнение теплопроводности". Что мне для этого нужно мыслить?Какой мой первый будет шаг?Просто читать книжку, чужие методы мне ужааасно скучно, хочется самому, с нуля, но пока не получается.

Уточню, подразумеваю, что чужие выводы "телеграфного уравнения" и "уравнения теплопроводности" я не смотрел, что мне дальше делать, исходя из этих пары слов?

[s.o.s.]

самостОятельно, извините за опечатку.

[BISHA]

s.o.s. в сообщении #362684 писал(а):

"уравнения теплопроводности" я не смотрел

Вначале определить от каких характеристик будет зависеть перенос тепла (прямо или обратно пропорционально), проверить размерности, ввести коэффициенты. Обычно (даже великие ...) использовали метод аналогии с уже известными решениями, занимаясь .... (поток жидкости - поток тепла, непрерывное заменяли рядами и т. п.), затем переходили к бесконечно малым, получали диф. уравнение.

[ewert]

s.o.s. в сообщении #362674 писал(а):

чужие выводы "телеграфного уравнения" и "уравнения теплопроводности" я не смотрел, что мне дальше делать, исходя из этих пары слов?

Исходя из "пары слов" -- ничего; допустим, слова "телеграфное уравнение" сами по себе решительно ничего не означают: кто знает, а вдруг имеется в виду уравнение телеграфного столба (с "уравнением теплопроводности" сложнее -- там простор для фантазии существенно меньше, и всё достаточно очевидно сводится к теореме Остроградского-Гаусса).

[s.o.s.]

"Уравнение теплопроводности"
дано источник тепла, комната с "воздухом".
Для нахождения u(P,t) [ где u- температура, P - точка в пространстве, t- время]
нам достаточно знать мощность источника, теплоёмкость, теплопроводность, так?

[Alex-Yu]

s.o.s. в сообщении #362674 писал(а):

Здравствуйте! Я вот что хочу спросить. Допустим, я хочу самостаятельно вывести "телеграфное уравнение" или "уравнение теплопроводности". Что мне для этого нужно мыслить?Какой мой первый будет шаг?Просто читать книжку, чужие методы мне ужааасно скучно, хочется самому, с нуля, но пока не получается.

Для уравнения теплопроводности первый шаг это: поток тепла пропорционален градиенту температуры. Далее закон сохранения энергии и готово.

Для телеграфных уравнений законы переменного тока для бесконечно малого участка линии. Этот участок имеет некую малую индуктивность, пропорциональную длине участка и аналогично некую емкость.

[s.o.s.]

Alex-Yu в сообщении #366904 писал(а):

Для уравнения теплопроводности первый шаг это: поток тепла пропорционален градиенту температуры. Далее закон сохранения энергии и готово.

ага,Значит получается:
\[
P = k*grad(u)
\]
P- поток тепла.
Так?
а от чего зависит k?только от свойств среды,да?
Закон сохранения энергии тут такой, я думаю:
если у нас дан какой-то объём пространства, то изменение
энергии равно кол-ву выработанного тепла в объёме минус
ушедшее тепло из этого объёма, так?

[ewert]

s.o.s. в сообщении #367572 писал(а):

Закон сохранения энергии тут такой, я думаю:если у нас дан какой-то объём пространства, то изменение
энергии равно кол-ву выработанного тепла в объёме минус
ушедшее тепло из этого объёма, так?

Это ещё не закон сохранения. Надобно ещё привлечь внутреннюю энергию. Которая пропорциональна температуре (во всяком случае, именно так в этой стандартной и простейшей модели принято).

Так вот: если Вы проинтегрируете по объёму скорость изменения той внутренней энергии (ну т.е. просто температуры, с точностью до умножения на теплопроводность) -- и учтёте выписанный Вами (и одновременно изуродованный заменой зачем-то баксов на квадратные скобки) закон Фурье -- и примените теорему Остроградского-Гаусса -- то Вы в точности уравнение теплопроводности и получите.

[s.o.s.]

Значит получается наверное так:
изменение внутренней энергии
$\[ \iiint\limits_V {s[u(P,t_2 ) - u(P,t_1 )]dV_p } \] $
где
s- теплопроводность
P -точка пространства

энергия ушедшая или пришедшая в объём
$\[ \iint\limits_S { - k*(grad(u)*\vec n)dS} \]$
k-какой-нибудь коэффициент
n-нормаль к S

и потом приравнять две формулы?

[ewert]

s.o.s. в сообщении #368678 писал(а):

s- теплопроводность
k-какой-нибудь коэффициент

Наоборот, теплопроводность -- это k. А s -- это тоже полезно, но это -- теплоёмкость.

s.o.s. в сообщении #368678 писал(а):

и потом приравнять две формулы?

Приравнивайте.Только сначала исправьте знак (поток тепла направлен против градиента, но при этом нам нужно тепло, текущее внутрь).

[s.o.s.]

ewert в сообщении #368683 писал(а):

Наоборот, теплопроводность -- это k. А s -- это тоже полезно, но это -- теплоёмкость.

а, ну да, что то я не подумав написал конечно же теплоёмкость s, раз там интеграл по объёму, то чтобы узнать количесво теплоты(энергии), нужно собственно знать сколько её на единицу объёма приходится.

ewert в сообщении #368683 писал(а):

Приравнивайте.Только сначала исправьте знак (поток тепла направлен против градиента, но при этом нам нужно тепло, текущее внутрь).

сейчас исправлю:
$\[ \iint\limits_S {k*(grad(u)*\vec n)dS} \]$
а почему?
что-то я запутался...
я так понимаю, от того втекает в объём энергия или вытекает и зависит знак, да?
в нашем случае подразумевается, что энергия втекает, то есть увеличивается её количество в объёме, да?

[Alex-Yu]

s.o.s. в сообщении #368678 писал(а):

Значит получается наверное так:

Можно и так. Но лучше сначала записать закон сохранения энергии в дифференциальной форме (это и само по себе полезно). Берем маленький (!) объем $V$
и пишем для него закон сохранения энергии не уточняя пока как выражаются вектор потока энергии (обозначим его, скажем, ${\bf \Pi}$) и скорость изменения энергии в этом объеме (т.е. производная по времени от энергии в объеме). Вспоминаем определение дивергенции вектора через поток этого вектора через бесконено маленькую замкнутую поверхность. Через плотность энергии записываем энергию внутри малого объема. В законе сохранения объем сократится. Получится закон сохранения энергии в дифференциальной форме. Ну и останется лишь выразить поток энергии через градиент температуры а плотность энергии через саму температуру. И готово уравнение теплопроводности.

[s.o.s.]

Alex-Yu в сообщении #368792 писал(а):

s.o.s. в сообщении #368678 писал(а):

Значит получается наверное так:

Можно и так. Но лучше сначала записать закон сохранения энергии в дифференциальной форме (это и само по себе полезно). Берем маленький (!) объем $V$
и пишем для него закон сохранения энергии не уточняя пока как выражаются вектор потока энергии (обозначим его, скажем, ${\bf \Pi}$) и скорость изменения энергии в этом объеме (т.е. производная по времени от энергии в объеме). Вспоминаем определение дивергенции вектора через поток этого вектора через бесконено маленькую замкнутую поверхность. Через плотность энергии записываем энергию внутри малого объема. В законе сохранения объем сократится. Получится закон сохранения энергии в дифференциальной форме. Ну и останется лишь выразить поток энергии через градиент температуры а плотность энергии через саму температуру. И готово уравнение теплопроводности.

Ой, помоему для меня это тёмный лес
Какой закон здесь получается?
$\[ {\text{dE/dt = }}\prod \]$
?
нет?)

[Himfizik]

Не усложняйте, все просто. Закон сохранения: $d (\int c_pTdV)/dt=-\int q dS$, где $q=-k (dT/dr)$ (градиент) - поток тепла через стенки объема; Теперь в дифференциальной форме: правый интеграл в законе сохранения преобразуем по теореме Остроградского-Гаусса в интеграл по объему от дивергенции: $-\int (div q) dV$, подставляем определение $q$ в интеграл, вспоминаем, что дивергенция градиента - это лапласиан, и из равенства двух интегралов по объему заключаем равенство подинтегральных выражений (что верно в силу произвольности выбора элемента объема и выполнимости этого закона для любого $d V$ в объеме $V$). То есть имеем: $c_p(dT/dt)=k\Delta T$. Уравнение теплопроводности получено. Кстати, телеграфное(волновое) уравнение тоже легко получается из самых разных соображений (то есть несколькими способами).

[ewert]

Himfizik в сообщении #369154 писал(а):

вспоминаем, что дивергенция градиента - это лапласиан,

Не так быстро. Коэффициент теплопроводности остаётся, вообще говоря, между дивергенцией и градиентом.