О распределении простых чисел

[venco]

$(P_{n-1}-N_{n-1})(P_{n+1}-N_{n+1}) = -1$

[e7e5]

venco в сообщении #360377 писал(а):

$(P_{n-1}-N_{n-1})(P_{n+1}-N_{n+1}) = -1$

Как же из этого равентства, получается ряд
$31, 101, 167, 229, 269, 271, 307, 311, ...$?

Мне ясно, что, если разность $P_n-N_n=0$, а предыдущая разность умноженная на последующую ($P_{n+1}-N_{n+1}$) дает минус единицу, то искомое число для формируемого ряда очень близко: либо то, при котором разность равна нулю, т.е $n$, либо следующее $n+1$.

Но как из той формулы выбирать какое именно?
На языке формулы не хватает правила отбора $n$ или $n+1$. Как это сформулировать наиболее кратко языком математики?

Например, $P_{10}-N_{10}=0$, для формирования ряда берем $10+1=11$ простое число, т.е. $31$
$P_{26}-N_{26}=0$, для ряда берем 26-ое простое число и.т.д

С другой стороны, может быть и не надо этих доп. условий, а просто брать для формирования ряда $n$-ое простое такое, что выполняется указанное равенство. Что вы думаете о том, какое лучше давать определение ряду ( например минимум описания, из которого будут получаться его свойства и.т.п)?

[e7e5]

venco в сообщении #351926 писал(а):

venco в сообщении #351790 писал(а):

Но перекос всё-таки есть. С вероятностью около $\frac 2 3$ текущая разница положительна.
В случае с остатком по модулю 4 с вероятностью >99% остатков 3 больше, чем 1, хотя разность тоже постоянно возвращается к нулю.

Такое поведение будет у случайного блуждания с вероятностью шага в одном направлении $\frac 1 2 + O(\frac 1 {\sqrt n})$.

А как из приведенных фактов получается такая оценка о случайном блуждании с вероятностью шага в одном направлении и $O(...)$?

[e7e5]

для разных отклонений $s \le a$ будут разные первые простые

a                 primes
-100           1075069
-200           7881613
-300           8271817
-400           8657969
-500           9051751
-600           9302611
-700           9506773
-800           9707531
-900           10116599
-1000         10195271
-2000         12086749
-3000         14446127
-4000         25653083
-5000         28016249
-6000         100753771
-7000         104001109
-8000         1006307971
-9000         1064709907
-10000       1070563573
-11000       4024988659
-11542       25557276889

[e7e5]

Если по оси OY откладывать отклонения $s$, а по оси OX соответствующие простые числа, то, проводим прямую $L_1$ через точки от $-100$ до $-1000$, вторую прямую $L_2$ через точки от $-1000$ до $-10000$.

Между этими прямыми будет некоторый угол $\phi$. По числовым данным видно, что прирост $s$ на втором участке более быстрый. Как обяснить данный факт?

[e7e5]

a                primes
-12000      25689916613

для вычисления данного простого при $a=-12000$ стандартному компьютеру понадобилось около 10 часов 40 минут.

-- Сб окт 23, 2010 13:45:27 --

интересно, можно ли модицифировать код так, чтобы опираясь на полученное простое при известном $a$, программа начинала счтитать не все сначала, а именно с этого шага, от этих начальных условий?

[e7e5]

a                       primes
 -13000            25700377597

для простых чисел порядка 25 миллиардов видно, что исследуемая последовательность "колеблется", удаляясь все дальше от нуля.
if(s<=-13000,print1(p,", "))

25700377597, 25700377601, 25700377603, 25700377613, 25700377649, 25700378383, 25700378387, 25700378413, 25700378423, 25700378441, 25700378527, 25700378531, 25700378537, 25700378657, 25700378659, 25700378681, 25700378713, 25700378791, 25700378807, 25700378903, 25700378923, 25700378929, 25700378939, 25700378947, 25700379041, 25700379073, 25700379091, 25700379143, 25700379149, 25700379161, 

[e7e5]

a                  primes
-14000          25702861231

Почему то теперь с дальнейшим уменьшением $a$ темп прироста простых снижается.