О некорректности описания пучка света Максвелла уравнениями

[myhand]

Ну, если говорить о (2) - то там всего 6 уравнений.

Соответственно - Вы говорите о решении системы (1) - тут 8 уравнений. Часть из них - связи, в них не входят явно производные по времени. Если в начальный момент поля удовлетворяют

$$\left\{\begin{array}{lll} {\rm div} \vec H(0,\vec r) = 0 \\ {\rm div} \vec E(0,\vec r) = 4\pi \rho(0,\vec r) \end{array} \right. \eqno{(3)}$$

то решая уравнения

$$\left\{\begin{array}{lll} {\rm rot} \vec E = - \frac{\partial \vec H}{\partial t} \\ {\rm rot} \vec H = \frac{\partial \vec E}{\partial t} + 4\pi \vec j\end{array} \right. \eqno{(4)}$$

мы получаем автоматически сохранение связей:

$$\frac{\partial {\rm div} \vec H}{\partial t} = -{\rm div}\, {\rm rot} \vec E = 0 \eqno{(5)}$$

и аналогично

$$\frac{\partial (-4\pi \rho + {\rm div} \vec E) }{\partial t} = -4\pi \left(\frac{\partial \rho}{\partial t} + {\rm div} \vec j \right) = 0 \eqno{(6)}$$

[AlexNew]

Какойто Бред Вы тут развели !

в уравнвниях Максвела всего 4 независимых уравнения описывающих волну (а не 8 как у Muninа или 6 у myhandа )
Докозательство элементарное, достаточно посмотреть на колличество параметров задающих волну (заряд и его скорость, 1+3)

лишние уравнения исключаются, посколько часть из них описывает закон сохранения заряда, отсутствие магнитного заряда, ( у myhand почти получилось к этому прети )

-- Чт окт 14, 2010 23:40:17 --

Из чего следует запрет на продольные ЭМ волны не знаю или забыл.

[myhand]

AlexNew в сообщении #362146 писал(а):

Докозательство элементарное, достаточно посмотреть на колличество параметров задающих волну (заряд и его скорость, 1+3)

лишние уравнения исключаются, посколько часть из них описывает закон сохранения заряда, отсутствие магнитного заряда, ( у myhand почти получилось к этому прети )

Вас не затруднит привести "доказательство"? Тем более, что оно "элементарное". И, соответственно, указать какие уравнения "лишние".

AlexNew в сообщении #362146 писал(а):

Из чего следует запрет на продольные ЭМ волны не знаю или забыл.

ИМХО, Вы много еще чего забыли ;) Грамматику в частности.

(P.S.)

То как устроено взаимодействие с током в волновом уравнении (2) Вам ничего не говорит?

[felixd]

всего 4 векторных максвелла это 12 скалярных минус 6 волновых будет 6 дополнительных
какие из них лишние?

-- Пт окт 15, 2010 08:13:20 --

как 8 получилось элементарно объясните

[Munin]

myhand в сообщении #362134 писал(а):

Соответственно - Вы говорите о решении системы (1) - тут 8 уравнений. Часть из них - связи, в них не входят явно производные по времени.

Всё, дошло.

felixd в сообщении #362189 писал(а):

всего 4 векторных максвелла это 12 скалярных минус 6 волновых будет 6 дополнительныхкакие из них лишние?

У Максвелла 2 векторных (с роторами) и 2 скалярных (с дивергенциями). Это 2*3+2*1=8 "скалярных". Из них реально работают только 6, остальные обеспечивают, например, корректность начальных условий. Их можно заменить на 6 других уравнений, например, на 2 векторных волновых уравнения.

[felixd]

6 маловато все таки ,тогда можно взять независимые друг от друга решения да и все.

продольные волны будут, только амплитуда у них очень маленькая получиться, обратная волновому вектору по уравнениям Максвелла если по уравнению для дивергенции получить проодольную компоненту из поперечной.

-- Пт окт 15, 2010 18:33:20 --

поперечная компонента при этом должна иметь какой то градиент поперек распространения

[myhand]

felixd в сообщении #362380 писал(а):

6 маловато все таки ,тогда можно взять независимые друг от друга решения да и все.

За что взять? Доведите свою мысль до конца, пожалуйста.

Munin в сообщении #362229 писал(а):

Из них реально работают только 6, остальные обеспечивают, например, корректность начальных условий.

"Остальные" - это связи. В числе прочего, они обеспечивают "поперечность" ЭМ волн. Помним, что электродинамика - калибровочная теория, это аналог механики со связями (не обязательно голономными, связи могут зависеть от импульсов - так бывает, как правило, в релятивистских теориях).

felixd в сообщении #362380 писал(а):

продольные волны будут, только амплитуда у них очень маленькая получиться, обратная волновому вектору по уравнениям Максвелла если по уравнению для дивергенции получить проодольную компоненту из поперечной.

Вы можете это внятно и связно сформулировать, прежде чем это "утверждение" кто-то потрудится разобрать? Если сложно словами - сформулируйте математически. Начав с того, что Вы называете "продольными"/"поперечными" волнами и что пытаетесь доказать.

[Munin]

myhand в сообщении #362401 писал(а):

"Остальные" - это связи.

Да я-то понял. Вот вы felixd объясните, что такое связи?

[myhand]

(Оффтоп)

Munin в сообщении #362411 писал(а):

Да я-то понял. Вот вы felixd объясните, что такое связи?

Книжку можно хорошую посоветовать по механике. Например, "Ольховский - Курс теоретической механики для физиков." Там обсуждаются минимум стандартный для теормеха материал - голономные/неголономные связи.

Хотя, по идее, в курсе по диффурам должны давать какое-то представление о дифференциальных уравнениях, определенных на многообразиях, сложнее чем $\mathbb{R}^n$. Конкретный пример: пусть в $\mathbb{R}^n$ определено подмногообразие $\mathbb{M}^{n-m} = \{y: g_k(y)=0, k=1..m\}$, причем $\forall y \in \mathbb{M}^{n-m}$: $\sum\limits_{k=1}^n \frac{\partial g_i}{\partial y_k} f_k(y) = 0$. Тогда ДУ $\dot y_i(t) = f_i(y),\; i=1..n$ с начальным условием $y(t_0) \in \mathbb{M}^{n-m}$ имеет свойство: $y(t) \in \mathbb{M}^{n-m}$. В этом случае $\dot y = f(y)$ - определяет дифференциальное уравнение на многообразии $\mathbb{M}^{n-m}$, о функциях $g(y)$ в механике обычно говорят как о связях.

[felixd]

независимые друг от друга решения волнового уравнения для каждой компоненты электрического например поля

-- Сб окт 16, 2010 08:09:44 --

разве уравнения для дивергенции верны только в начальный момент времени, а не всегда в каждый момент времени?

-- Сб окт 16, 2010 08:22:01 --

myhand в сообщении #362401 писал(а):

Вы можете это внятно и связно сформулировать, прежде чем это "утверждение" кто-то потрудится разобрать? Если сложно словами - сформулируйте математически. Начав с того, что Вы называете "продольными"/"поперечными" волнами и что пытаетесь доказать.

Если уравнение о дивергенции верно в каждый момент времени, то взяв решение решение волнового уравнения для одной компоненты(например E), поперечной распространению фронта, подставив в уравнение о дивергенции и интегрируя его мы получим решение для другой компоненты, например продольной.
Это можно проделать, если компонент (E) по каким то соображениям всего 2 и одна из них продольная.
Если продольная компонента есть то ее можно наверно измерить , подобрав случай когда она не мала.
Если ее не будет и все предыдущее верно то получаем интересную ситуацию.

-- Сб окт 16, 2010 08:41:23 --

если взять в качестве решения волнового уравнения для одной компоненты гауссов пучок для видимого или около диапазона, считая, что другой поперечной компоненты не будет из-за поляризатора. подставив его (решение) в уравнение о дивергенции и интегрируя его мы получим решение для другой компоненты, например продольной. Она то (продольная) и будет иметь малую амплитуду из-за большого волнового вектора (k).

[felixd]

а если взять в качестве решения волнового уравнения для одной компоненты излучение диполя считая, что другой поперечной компоненты не будет из-за симметрии задачи. подставив его (решение) в уравнение о дивергенции и интегрируя его мы получим решение для другой компоненты, например продольной. Она то (продольная) в данном случае может быть будет иметь измеримую амплитуду из-за небольшого волнового вектора (k).

[myhand]

felixd в сообщении #362648 писал(а):

независимые друг от друга решения волнового уравнения для каждой компоненты электрического например поля

Вы не можете выбрать их независимо. Есть связи, которым в т.ч. должны удовлетворять и начальные данные для полей.

felixd в сообщении #362648 писал(а):

разве уравнения для дивергенции верны только в начальный момент времени, а не всегда в каждый момент времени?

Я написал достаточно подробно. Какое слово, какую формулу Вы не поняли?

В остальном, могу только повторить:

myhand в сообщении #362401 писал(а):

Вы можете это внятно и связно сформулировать, прежде чем это "утверждение" кто-то потрудится разобрать? Если сложно словами - сформулируйте математически. Начав с того, что Вы называете "продольными"/"поперечными" волнами и что пытаетесь доказать.

[felixd]

myhand в сообщении #362702 писал(а):

Есть связи, которым в т.ч. должны удовлетворять и начальные данные для полей.

не понял я вот чего: можно ли связями воспользоваться не в начальный, а в произвольный момент времени?
Допустим узнал я каким то образом решение для одной компоненты волнового уравнения можно по ним из уравнения связей найти другую компоненту?

-- Сб окт 16, 2010 15:53:21 --

можно по ним из уравнения связей найти другую компоненту в произвольный момент времени?
вопрос не о нужности такой процедуры , а о правомерности.

-- Сб окт 16, 2010 15:56:52 --

и еще буквально
уравнения для дивергенции верны в любой момент времени?

-- Сб окт 16, 2010 16:18:48 --

myhand в сообщении #362401 писал(а):

Вы можете это внятно и связно сформулировать, прежде чем это "утверждение" кто-то потрудится разобрать? Если сложно словами - сформулируйте математически. Начав с того, что Вы называете "продольными"/"поперечными" волнами и что пытаетесь доказать.

например известно нам решение E поперечной фронту например гауссова пучка , распространяющегося вдоль z, компоненты поля, например компонеты x. Пусть другая поперечная компонента из-за поляризатора равна нулю.
тогда z компонента равно интегралу (от производной x компоненты E по x)
или нет?

[myhand]

felixd в сообщении #362703 писал(а):

не понял я вот чего: можно ли связями воспользоваться не в начальный, а в произвольный момент времени?

Здесь Вам написали, что решения уравнений (4), удовлетворяющие (3) на начальных данных - будут автоматически удовлятворять (3) и в произвольный момент времени, т.е.

$$\left\{\begin{array}{lll} {\rm div} \vec H= 0 \\ {\rm div} \vec E = 4\pi \rho \end{array} \right. \eqno{(3)'}$$

Естественно, наличие связей означает, пардон за каламбур - взаимосвязанность компонент. Что физически выражается в редукции числа степеней свободы поля.

Не нужно понимать это буквально до: можно восстановить по решению для части компонент - все поле, используя связи. Это грубо говоря верно, но не совсем все так просто.

Простой пример из механики: зная что частица движется по сфере $x^2 + y^2 + z^2 = 1$ и зная две координаты $x$ и $y$ - Вы способны восстановить $z$?

[felixd]

myhand в сообщении #362708 писал(а):

Не нужно понимать это буквально до: можно восстановить по решению для части компонент - все поле, используя связи. Это грубо говоря верно, но не совсем все так просто.

но в некоторых случаях это возможно?

-- Сб окт 16, 2010 16:27:18 --

в случае если компонент всего 2?

-- Сб окт 16, 2010 16:31:01 --

felixd в сообщении #362703 писал(а):

например известно нам решение E поперечной фронту например гауссова пучка , распространяющегося вдоль z, компоненты поля, например компонеты x. Пусть другая поперечная компонента из-за поляризатора равна нулю.
тогда z компонента равно интегралу (от производной x компоненты E по x)

в чем неопределенность такой процедуры?

-- Сб окт 16, 2010 16:31:35 --

конкретно такой?