2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


В этом разделе нельзя создавать новые темы.

Если Вы хотите задать новый вопрос, то не дописывайте его в существующую тему, а создайте новую в корневом разделе "Помогите решить/разобраться (М)".

Если Вы зададите новый вопрос в существующей теме, то в случае нарушения оформления или других правил форума Ваше сообщение и все ответы на него могут быть удалены без предупреждения.

Не ищите на этом форуме халяву, правила запрещают участникам публиковать готовые решения стандартных учебных задач. Автор вопроса обязан привести свои попытки решения и указать конкретные затруднения.

Обязательно просмотрите тему Правила данного раздела, иначе Ваша тема может быть удалена или перемещена в Карантин, а Вы так и не узнаете, почему.



Начать новую тему Ответить на тему На страницу 1, 2, 3  След.
 
 Доказательство линейности ф-ции из св-ва f(a+b)=f(a)+f(b)
Сообщение11.10.2006, 12:44 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


28/09/06
10985
Про действительно-значную ф-цию f одной действительной переменной известно, что для любых a и b: f(a+b) = f(a)+f(b)
Следует ли отсюда, что ф-ция линейная, т.е. f(x) = c*x?
Если следует, то как доказать?
Если не следует, то можно ли опровергающий пример?

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение11.10.2006, 12:59 
Заслуженный участник


09/02/06
4401
Москва
Отсюда не следует линейность, т.е. f(cx)=cf(x), если речь идёт о действительной прямой (а не о множестве рациональных чисел). Для получения линейности, достаточно требовать непрерывности функции хотя бы в одной точке.

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение11.10.2006, 13:02 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


21/12/05
5932
Новосибирск
Хм, я вот тоже хотел так ответить, а потом задумался - а не следует ли непрерывность отсюда? Что-то с лёту не приходит в голову контрпример. Чтобы исключить случай дырявых областей определения, пусть f определена на всём R, тогда f(0)=0. Будет ли она непрерывной в точке 0?

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение11.10.2006, 13:23 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


11/01/06
3828
Выберем базис Гамеля $\mathbb{R}$ над $\mathbb{Q}$ и каждому $x\in\mathbb{R}$ сопоставим его первую координату. Вот Вам стандартный пример. Примера, не использующего аксиому выбора, не существует.

Добавлено спустя 2 минуты 11 секунд:

А еще на лекции по функану говорили, что для линейности достаточно измеримости функции.

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение11.10.2006, 13:28 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


21/12/05
5932
Новосибирск
Порылся на своём чердаке - не нашёл базиса Гамеля. Пойду учить матчасть. :D

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение11.10.2006, 13:33 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


11/01/06
3828
Базис Гамеля-это обычный базис, про который учат в курсе линала. Возможно, правда, что я фамилию неправильно назвал("чё-то с памятью моей стало...")

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение11.10.2006, 13:43 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


21/12/05
5932
Новосибирск
Всё верно - уже нашёл. Просто надо R рассмотреть как линейное пространство над полем Q. Тогда существует этот самый базис в обычном смысле - его элементы линейно независимы над Q (рассаматриваются конечные линейные комбинации) и любое действительное число представимо конечной линейной кмбинацией элементов базиса. Лемма Цорна в основе его существования.

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение11.10.2006, 14:19 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


28/09/06
10985
Правильно ли я понял, что из аксиомы выбора следует положительный ответ на мой вопрос?
Зачем же тогда линейное преобразование F(vec X) определяется как:
F(a * vec X + b * vec Y) = a * F(vec X) + b * F(vec Y) ?
Почему недостаточно F(vec X + vec Y) = F(vec X) + F(vec Y) ?

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение11.10.2006, 14:27 
Заслуженный участник


09/02/06
4401
Москва
При последнем определении для многих полей получаются более общее чем линейные функции. Назовём их аддитивными. Чтобы аддитивная функция была линейной для поля действительных чисел (или его подполя) достаточно требовать непрерывность хотя бы в одной точке.
Например в поле чисел $Q(\sqrt 2 )$ можно определить функцию:
$f(a+b\sqrt 2 )=a+2b$ аддитивна, но не линейна.

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение11.10.2006, 14:46 
Заморожен


08/11/05
499
Москва Первомайская
Про то, что одной аддитивности недостаточно для линейности функционала, а нужна еще и его однородность, написано в этой книжке, с. 80. Доказательство использует лемму Цорна, и в этом смысле неконструктивно.

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение11.10.2006, 15:04 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


21/12/05
5932
Новосибирск
бобыль писал(а):
Про то, что одной аддитивности недостаточно для линейности функционала, а нужна еще и его однородность, написано в этой книжке, с. 80. Доказательство использует лемму Цорна, и в этом смысле неконструктивно.

А я вот с этой знакомство начал. :D

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение11.10.2006, 15:07 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


28/09/06
10985
Руст писал(а):
При последнем определении для многих полей получаются более общее чем линейные функции. Назовём их аддитивными. Чтобы аддитивная функция была линейной для поля действительных чисел (или его подполя) достаточно требовать непрерывность хотя бы в одной точке.

Увы, условия непрерывности хотя бы в одной точке у меня как раз и нет. :) В этом случае мне понятно, как перейти к линейности...

Руст писал(а):
Например в поле чисел $Q(\sqrt 2 )$ можно определить функцию:
$f(a+b\sqrt 2 )=a+2b$ аддитивна, но не линейна.

М-мм. Правильно ли я понял, что речь об объединении Q и Q *$\sqrt2$? Вообще-то, меня интересуют функции, определённые на всём множестве действительных чисел.

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение11.10.2006, 15:25 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


21/12/05
5932
Новосибирск
epros писал(а):
М-мм. Правильно ли я понял, что речь об объединении Q и Q *$\sqrt2$? Вообще-то, меня интересуют функции, определённые на всём множестве действительных чисел.

Неправильно - речь идёт о множестве всех чисел вида $a + b\sqrt2$ с рациональными a и b. Это, конечно, не всё R, но этот пример проще функции определённой на всей числовой оси, которую указал RIP - он получается с использованием базиса Гамеля.

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение11.10.2006, 15:36 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


11/01/06
3828
epros писал(а):
Правильно ли я понял, что из аксиомы выбора следует положительный ответ на мой вопрос?

Из неё следует как раз отрицательный ответ. Я же привел пример аддитивной нелинейной функции.

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение11.10.2006, 15:56 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


28/09/06
10985
bot писал(а):
epros писал(а):
М-мм. Правильно ли я понял, что речь об объединении Q и Q *$\sqrt2$? Вообще-то, меня интересуют функции, определённые на всём множестве действительных чисел.

Неправильно - речь идёт о множестве всех чисел вида $a + b\sqrt2$ с рациональными a и b. Это, конечно, не всё R, но этот пример проще функции определённой на всей числовой оси, которую указал RIP - он получается с использованием базиса Гамеля.

Понятно. Значит ли это, что примером аддитивной, но нелинейной ф-ции, определенной на R, можно считать, скажем, такое:
f(a+b) = a + 2*b, где a принадлежит Q, а b принадлежит R-Q?

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 43 ]  На страницу 1, 2, 3  След.

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group