Доказательство линейности ф-ции из св-ва f(a+b)=f(a)+f(b)

[Руст]

Из аддитивности (без дополнительных предположений о непрерывности) следует линейность только для простых полей. В характеристике 0 это поле рациональных чисел. В характеристике р это поле вычетов по модулю р.

[epros]

bot писал(а):

Думаю многие непонятки снимутся, если начать с самого начала. Что такое линейное пространство V над полем F?
Это есть множество векторов, в котором определены двуместная операция сложения и множество одноместных операций $x \longrightarrow \alpha \cdot x$, называемых умножением вектора x на любой скаляр $\alpha \in F$. Эти операции удовлетворяют известным аксиомам.

Это понятно.

bot писал(а):

Подпространство - это подмножество в V, замкнутое относительно всех операций. Взяв произвольное подмножество M в V мы можем организовать подпространство $L(M)$ - наименьшее из всех подпространств, содержащих множество M, называемое линейной оболочкой множества M. Нетрудно понять, что оно состоит из всевозможных линейных комбинаций векторов из M, взятых в конечном числе.

Здесь непонятна только последняя фраза. Если множество M бесконечно, то почему его линейная оболочка состоит из конечных линейных комбинаций ортов?
Пример бесконечного (но счётного) базиса в линейном пространстве - разложение в ряд Фурье интегрируемой по Риману ф-ции, определённой на отрезке $[-\pi,\pi]$. Некоторая произвольно выбранная ф-ция вообще-то говоря представляется бесконечной линейной комбинацией ортов (возьмите для примера $x^2$).
А что же тогда является "линейной оболочкой" для данного (счётного) множества ортов?

bot писал(а):

Конечная система векторов называется линейно зависимой, если существует нетривиальная (то есть хотя бы один из коэффициентов отличен от нуля) линейная комбинация этих векторов, равная нулевому вектору. Конечная система векторов называется линейно независимой, если она не является линейно зависимой. Произвольная система векторов называется линейно независимой, если линейно независима любая конечная подсистема этой системы.

Опять же, всё понятно, кроме последней фразы (про произвольную систему векторов).
Приведу пример: определим M в пространстве действительных чисел как множество:
$1, \sqrt2, \sqrt3, \sqrt5, ...$ - и далее бесконечная последовательность квадратных корней из простых чисел.
Любой вектор из данной последовательности нельзя представить как линейную комбинацию конечного подмножества других векторов последовательности, зато его всегда можно представить как линейную комбинацию от бесконечного подмножества других векторов последовательности, причём не единственным способом.
Так что согласно Вашему определению данная система является "линейно независимой", но вообще-то каждый её вектор выражается через линейные комбинации других.

bot писал(а):

Базис пространства V - это вполне упорядоченное подмножество векторов M, обладающее двумя свойствами:
1) M линейно независима
2) L(M)=V.

Как я понимаю, мой пример с последовательностью из квадратных корней от простых чисел подходит под 1), но не подходит под 2)?
Ведь 1) в Вашем определении все вектора базиса линейно независимы, 2) но не все действительные числа выражаются через конечную линейную комбинацию данных ортов - например, число $\pi$ не выражается (только через бесконечную линейную комбинацию).

И в итоге: вопрос о построении примера нелинейной аддитивной ф-ции остаётся. Уточню: в моём понимании "ф-ция построена" - это когда я могу загадать любое число, и однозначно узнать из Вашего определения чему будет равно значение ф-ции от этого числа.

Добавлено спустя 10 минут 39 секунд:

Руст писал(а):

Из аддитивности (без дополнительных предположений о непрерывности) следует линейность только для простых полей. В характеристике 0 это поле рациональных чисел. В характеристике р это поле вычетов по модулю р.

Спасибо. Но мой вопрос к действительно-значным ф-циям, определённым на ВСЁМ множестве действительных чисел.

Кстати, Вы писали о достаточности требования непрерывности хотя бы в одной точке. Я тут подумал, и пришёл к выводу, что это следует также из ограниченности ф-ции (снизу и сверху) на любом (сколь угодно малом) отрезке, не включающем 0.

Так что, господа, имейте в виду, что если хотите построить пример нелинейной аддитивной ф-ции, то Вам придётся придумывать ф-цию, не просто разрывную в каждой точке (как ф-ция Дирихле), но и неограниченную на любом бесконечно малом отрезке.

Не уверен, что это вообще реально.

[bot]

epros писал(а):

bot писал(а):

... мы можем организовать подпространство L(M) - наименьшее из всех подпространств, содержащих множество M ... Нетрудно понять, что оно состоит из всевозможных линейных комбинаций векторов из M, взятых в конечном числе.

Здесь непонятна только последняя фраза. Если множество M бесконечно, то почему его линейная оболочка состоит из конечных линейных комбинаций ортов?

Потому что подпространство, содержащее M обязано вместе с множеством M содержать все линейные комбинации элементов из M, то есть обязано содержать всю линейну оболочку L(M), с одной стороны, а с другой стороны L(M) очевидно замкнуто относительно операций и, следовательно, является подпространством.

Цитата:

Пример бесконечного (но счётного) базиса в линейном пространстве - разложение в ряд Фурье интегрируемой по Риману ф-ции ...

Ну я так и знал, что пример 3 окажется провокационным.

Цитата:

А что же тогда является "линейной оболочкой" для данного (счётного) множества ортов?

Множество тригонометрических полиномов, разумеется, но никак не множество функций, разложимых в ряд Фурье.

Цитата:

Некоторая произвольно выбранная ф-ция вообще-то говоря представляется бесконечной линейной комбинацией ортов.

А всякая ли бесконечная линейная комбинация этих "ортов" представляет функцию? А в пространстве бесконечно дифференцируемых функций какие "орты" будут?

Цитата:

bot писал(а):

... Произвольная система векторов называется линейно независимой, если линейно независима любая конечная подсистема этой системы.

Опять же, всё понятно, кроме последней фразы (про произвольную систему векторов).
Приведу пример: определим M в пространстве действительных чисел как множество:
$1, \sqrt2, \sqrt3, \sqrt5, ...$ - и далее бесконечная последовательность квадратных корней из простых чисел.
Любой вектор из данной последовательности нельзя представить как линейную комбинацию конечного подмножества других векторов последовательности, зато его всегда можно представить как линейную комбинацию от бесконечного подмножества других векторов последовательности, причём не единственным способом.

Ну дык и что будет базисом в Вашем смысле и в каком таком смысле?

Цитата:

bot писал(а):

Базис пространства V - это вполне упорядоченное подмножество векторов M ...

Как я понимаю, мой пример с последовательностью из квадратных корней от простых чисел подходит под 1), но не подходит под 2)?

Да. И пример, который указал RIP апеллирует именно к этому определению.

Цитата:

В итоге: вопрос о построении примера нелинейной аддитивной ф-ции остаётся. Уточню: в моём понимании "ф-ция построена" - это когда я могу задать любое число, и однозначно узнать из Вашего определения чему будет равно значение ф-ции от этого числа.

Нет, не остаётся - пример указал RIP. Относительно задания функции не понял. Что такое функция, если недвусмысленное задание её значений во всех точках области определения?

Цитата:

Так что, господа, имейте в виду, что если хотите построить пример нелинейной аддитивной ф-ции, то Вам придётся придумывать ф-цию, не просто разрывную в каждой точке (как ф-ция Дирихле), но и неограниченную на любом бесконечно малом отрезке.

Опять 25 - пример указал RIP. А почему (хотя это и несущественно) эта функция должна быть неограниченной? Придумывать разрывную во всех точках функцию не придётся: коль скоро она существует (соглашаясь с аксиомой выбора), то она разрывна во всех точках - из аддитивности и разрывности в одной лишь точке (пусть в нуле), очевидно, вытекает разрывность в любой точке.
А какова первая координата у точки $\varepsilon$? Спросите это у функции выбора, которая выбирала базис Гамеля.

[epros]

bot писал(а):

Потому что подпространство, содержащее M обязано вместе с множеством M содержать все линейные комбинации элементов из M, то есть обязано содержать всю линейну оболочку L(M), с одной стороны, а с другой стороны L(M) очевидно замкнуто относительно операций и, следовательно, является подпространством.

ОК, определение линейной оболочки принято.

bot писал(а):

Цитата:

А что же тогда является "линейной оболочкой" для данного (счётного) множества ортов?

Множество тригонометрических полиномов, разумеется, но никак не множество функций, разложимых в ряд Фурье.

ОК, с этим согласен.

bot писал(а):

Цитата:

Некоторая произвольно выбранная ф-ция вообще-то говоря представляется бесконечной линейной комбинацией ортов.

А всякая ли бесконечная линейная комбинация этих "ортов" представляет функцию? А в пространстве бесконечно дифференцируемых функций какие "орты" будут?

На первый вопрос: очевидно, что не всякая.
На второй: не знаю, и как их построить - не представляю. В том-то и проблема, что я не уверен в том, что это вообще возможно (в смысле Вашего определения).

bot писал(а):

Цитата:

Приведу пример: определим M в пространстве действительных чисел как множество:
$1, \sqrt2, \sqrt3, \sqrt5, ...$ - и далее бесконечная последовательность квадратных корней из простых чисел.

Ну дык и что будет базисом в Вашем смысле и в каком таком смысле?

Я так понимаю, что указанное мной множество векторов будет "базисом над полем Q" (в Вашем смысле) для некоторого пространства = линейной оболочки данного множества. Но это пространство никак не будет совпадать с R. Правильно?

bot писал(а):

Цитата:

В итоге: вопрос о построении примера нелинейной аддитивной ф-ции остаётся. Уточню: в моём понимании "ф-ция построена" - это когда я могу задать любое число, и однозначно узнать из Вашего определения чему будет равно значение ф-ции от этого числа.

Нет, не остаётся - пример указал RIP. Относительно задания функции не понял. Что такое функция, если недвусмысленное задание её значений во всех точках области определения?

Просто скажите, чему будет равно значение ф-ции, определённой RIP, в точке $\pi / \sqrt3$, и объясните, как это следует из данного определения. Тогда я от Вас отстану (временно ). Общие ответы типа "оно будет равно той координате, которая окажется у того вектора..." и т.п. меня не устраивают - мне нужно число (алгоритм для вычисления значения любого его десятичного разряда или нечто подобное).

bot писал(а):

А почему (хотя это и несущественно) эта функция должна быть неограниченной?

Если интересно, могу продемонстрировать. Через отображение некоторого конечного интервала, принадлежащего данному отрезку, на интервалы $(0,\varepsilon)$ и $(-\varepsilon,0)$, где $\varepsilon$ - любое (сколь угодно малое) положительное число. При этом формула отображения представляет собой просто умножение на некое рациональное число, что как это следует из аддитивности рассматриваемой функции, соответствует умножению значения нашей функции на это же рациональное число. Далее сопоставляем с определением предела функции в точке 0...

bot писал(а):

А какова первая координата у точки $\varepsilon$? Спросите это у функции выбора, которая выбирала базис Гамеля.

Что-то она не отвечает. Может Вы за неё ответите?

[bot]

Цитата:

На второй: не знаю, и как их построить - не представляю. В том-то и проблема, что я не уверен в том, что это вообще возможно (в смысле Вашего определения).

Возьмём базис Гамеля этого пространства над полем R ... Или Вы о явном построении? Однако я и не спрашивал в моём смысле (то есть не в моём, а в общепринятом), я спрашивал - в вашем. Будем считать, что провокация не удалась.

Цитата:

Я так понимаю, что указанное мной множество векторов будет "базисом над полем Q" (в Вашем смысле) для некоторого пространства = линейной оболочки данного множества. Но это пространство никак не будет совпадать с R. Правильно?

Правильно.

Цитата:

Просто скажите, чему будет равно значение ф-ции, определённой RIP, в точке $\pi / \sqrt3$, и объясните, как это следует из данного определения. Тогда я от Вас отстану (временно ). Общие ответы типа "оно будет равно той координате, которая окажется у того вектора..." и т.п. меня не устраивают - мне нужно число (алгоритм для вычисления значения любого его десятичного разряда или нечто подобное).

Ну так и скажите, что с аксиомой выбора Вы не согласны - ведь только если её принять, то можно доказать существование базиса Гамеля, а отсюда и пример. Поскольку он не конструктивен, то только господь Бог может знать первую координату интересующего Вас числа. Вот, к примеру, возьмём теорему о промежуточном значении. Будете настаивать на том, чтобы я для произвольно взятой непрерывной функции, принимающей на концах отрезка значения разных знаков, указал точку с нулевым значением или удовлетворитесь доказательством того, что она существует? А это без принятия аксиомы выбора это существование тоже не докажешь.

Цитата:

Если интересно, могу продемонстрировать. Через отображение некоторого конечного интервала, принадлежащего данному отрезку, на интервалы $(0,\varepsilon)$ и $(-\varepsilon,0)$, где $\varepsilon$ - любое (сколь угодно малое) положительное число. При этом формула отображения представляет собой просто умножение на некое рациональное число, что как это следует из аддитивности рассматриваемой функции, соответствует умножению значения нашей функции на это же рациональное число. Далее сопоставляем с определением предела функции в точке 0...

А не получится ничего - ну выносятся рациональные коэффициенты, ну и что? Чтобы выносились действительные, нужен предельный переход, а для этого непрерывность, а её-то и нет.

Цитата:

Что-то она не отвечает. Может Вы за неё ответите?

Вы назначаете меня и.о. функции выбора?
ЗЫ. Впрочем, если только в одной точке, а не во всех, то с этим Вы и сами справитесь - возьмите любое число.

[epros]

bot писал(а):

Цитата:

Просто скажите, чему будет равно значение ф-ции, определённой RIP, в точке $\pi / \sqrt3$, и объясните, как это следует из данного определения. Тогда я от Вас отстану (временно ). Общие ответы типа "оно будет равно той координате, которая окажется у того вектора..." и т.п. меня не устраивают - мне нужно число (алгоритм для вычисления значения любого его десятичного разряда или нечто подобное).

Ну так и скажите, что с аксиомой выбора Вы не согласны - ведь только если её принять, то можно доказать существование базиса Гамеля, а отсюда и пример.

Давайте по порядку:
1. Если аксиома выбора это: "Для любого семейства A непустых непересекающихся множеств можно определить по крайней мере одно множество B, имеющее один и только один общий элемент с каждым из множеств, принадлежащих A", - то давайте будем условно считать, что я её признаЮ.
2. Доказательства существования базиса Гамеля для R я не видел, но готов поверить Вам, что оно существует.
3. Этого мне тем не менее недостаточно, поскольку факт "существования хотя бы одного базиса Гамеля для R" ещё не означает, что: a) оный определен однозначно, b) однозначно определена процедура разложения любого действительного числа по данному базису и, наконец, c) однозначно определён выбор той координаты, которая выполняет роль значения ф-ции

bot писал(а):

Поскольку он не конструктивен, то только господь Бог может знать первую координату интересующего Вас числа.

Честно говоря, меня не интересует, что именно знает господь Бог. Меня интересует, смогу ли это каким-либо образом узнать я.

bot писал(а):

Вот, к примеру, возьмём теорему о промежуточном значении. Будете настаивать на том, чтобы я для произвольно взятой непрерывной функции, принимающей на концах отрезка значения разных знаков, указал точку с нулевым значением или удовлетворитесь доказательством того, что она существует? А это без принятия аксиомы выбора это существование тоже не докажешь.

Удовлетворюсь доказательством того, что она существует. Но если буду вести речь о конкретном примере функции, то для неё могу попросить указать конкретную точку (но если собеседник не сможет указать, то это не будет означать, что её не существует).

bot писал(а):

Цитата:

Если интересно, могу продемонстрировать. Через отображение некоторого конечного интервала, принадлежащего данному отрезку, на интервалы $(0,\varepsilon)$ и $(-\varepsilon,0)$, где $\varepsilon$ - любое (сколь угодно малое) положительное число. При этом формула отображения представляет собой просто умножение на некое рациональное число, что как это следует из аддитивности рассматриваемой функции, соответствует умножению значения нашей функции на это же рациональное число. Далее сопоставляем с определением предела функции в точке 0...

А не получится ничего - ну выносятся рациональные коэффициенты, ну и что? Чтобы выносились действительные, нужен предельный переход, а для этого непрерывность, а её-то и нет.

А вот вдруг получится? Непрерывность мне не нужна, потому что не нужно, чтобы выносились действительные множители. Кстати, я выше неточно выразился: не просто "умножить на рациональное число", а сначала вычесть некое число (действительное, а именно - левую границу отрезка), а уж потом умножить на рациональное число:
$y = q*(x - r)$

Возьмем внутри исходного отрезка $[r,p]$ любую точку $a$ (сколь угодно близкую к $p$), а потом выберем рациональное $q$ : $\varepsilon/(p - r) <= q <= \varepsilon/(a - r)$. В итоге образ отрезка $[r,p]$ перекроет область $[0,\varepsilon]$. Т.е. любая точка области $[0,\varepsilon]$ будет иметь прообраз из $[r,p]$.

А поскольку $f(y) = q*(f(x) - f(r))$, то для $0 <= y <= \varepsilon$ : $f(y) <= q*(f_{max} - f(r)) <= \varepsilon*(f_{max} - f(r))/(a - r)$, где $f_{max}$ - верхняя граница функции на отрезке $[r,p]$. Выбрав $\varepsilon$ достаточно малым, получим сколь угодно малое $f(y)$. Для нижней границы и для левой окрестности нуля расуждения примерно симметричны.

bot писал(а):

ЗЫ. Впрочем, если только в одной точке, а не во всех, то с этим Вы и сами справитесь - возьмите любое число.

Не пойдёт. Мне нужно не любое число, а конкретное. Однозначно определённое.

[RIP]

НИКТО Вам не построит такую функцию, что Вы сможете вычислять её значение в любой выбранной точке. Это и имелось в виду, когда я говорил, что конструктивного примера не существует.

[epros]

RIP писал(а):

НИКТО Вам не построит такую функцию, что Вы сможете вычислять её значение в любой выбранной точке. Это и имелось в виду, когда я говорил, что конструктивного примера не существует.

Правильно ли я понял, что это означает "конструктивный пример построить невозможно", а не "конструктивный пример пока никто не построил, но, возможно, построят"?

Под "конструктивным примером" я понимаю именно то, что Вы указали: определение функции, позволяющее однозначно вычислить её значение в любой выбранной точке. "Вычислить" - это означает "указать конечный алгоритм для однозначного определения любого разряда числа".

Как я понимаю, если принять аксиому выбора, то можно доказать, что пример нелинейной аддитивной функции "можно определить". Но это не означает, что однозначное "определение" будет конечным, т.е. его можно будет реально использовать. Это правильно?

[RIP]

epros писал(а):

Правильно ли я понял, что это означает "конструктивный пример построить невозможно", а не "конструктивный пример пока никто не построил, но, возможно, построят"?

Это означает, что конструктивный пример пока никто не построил и вряд ли когда-нибудь построят(последнее - это только моё ИМХО).

epros писал(а):

Как я понимаю, если принять аксиому выбора, то можно доказать, что пример нелинейной аддитивной функции "можно определить". Но это не означает, что однозначное "определение" будет конечным, т.е. его можно будет реально использовать. Это правильно?

Именно так. Именно поэтому многие математики отказывались принимать аксиому выбора на веру: её использование приводило к многим неконструктивным доказательствам совершенно "диких" утверждений.

[Руст]

RIP писал(а):

epros писал(а):

Правильно ли я понял, что это означает "конструктивный пример построить невозможно", а не "конструктивный пример пока никто не построил, но, возможно, построят"?

Это означает, что конструктивный пример пока никто не построил и вряд ли когда-нибудь построят(последнее - это только моё ИМХО

Всё это связано с тем, что определили множество действительных чисел через неконструктивное пополнение множества рациональных чисел. Если определить действительные числа как множество всех конструктивных чисел, то можно построить и конструктивную нелинейную аддитивную функцию.

[epros]

Руст писал(а):

Всё это связано с тем, что определили множество действительных чисел через неконструктивное пополнение множества рациональных чисел. Если определить действительные числа как множество всех конструктивных чисел, то можно построить и конструктивную нелинейную аддитивную функцию.

Спасибо всем. Первоначальный вопрос на этом полагаю исчерпанным.
Относительно конструктивности действительных чисел имею отдельный вопрос, но полагаю, что его лучше задать в отдельной ("дискуссионной") теме.

[epros]

Интересно, что в 2-х и более мерном случае, похоже, что линейность можно получить и без требования непрерывности преобразования хотя бы в одной точке - его вполне заменяет требование сохранения всех прямых при биективном отображении $R^n$ на $R^n$. Доказательство здесь изложил quasi.

В одномерном случае, конечно, нет понятия "прямых", так что мы не можем потребовать их "сохранения" при отображении. Но вот что интересно: не следует ли всё то же самое в одномерном случае из одного только требования взаимной однозначности отображения R на R? Т.е. не будет ли аддитивная биекция f(x) линейной функцией?

[Someone]

epros писал(а):

Но вот что интересно: не следует ли всё то же самое в одномерном случае из одного только требования взаимной однозначности отображения R на R? Т.е. не будет ли аддитивная биекция f(x) линейной функцией?

Не следует.
Рассмотрим $\mathbb R$ как векторное пространство над $\mathbb Q$, и пусть $\{\mathbf e_{\alpha}:\alpha\in\mathfrak A\}$ - базис этого линейного пространства (как уже отмечалось в этой теме, $|\mathfrak A|=2^{\aleph_0}$). Рассмотрим любую перестановку $\sigma\colon\mathfrak A\to\mathfrak A$, удовлетворяющую следующему условию: найдутся такие $\alpha,\beta\in\mathfrak A$, что $\frac{\mathbf e_{\alpha}}{\mathbf e_{\sigma(\alpha)}}\neq\frac{\mathbf e_{\beta}}{\mathbf e_{\sigma(\beta)}}$.
Каждое число $x\in\mathbb R$ допускает единственное представление в виде $x=\sum\limits_{\alpha\in\mathfrak A}r_{\alpha}\mathbf e_{\alpha}$, где $r_{\alpha}\in\mathbb Q$ для всех $\alpha\in\mathfrak A$, причём, имеется лишь конечное множество координат, отличных от нуля (по определению базиса).
Определим $f(x)=\sum\limits_{\alpha\in\mathfrak A}r_{\sigma(\alpha)}\mathbf e_{\alpha}$. Эта функция является искомой.