Доказательство линейности ф-ции из св-ва f(a+b)=f(a)+f(b)

[epros]

Про действительно-значную ф-цию f одной действительной переменной известно, что для любых a и b: f(a+b) = f(a)+f(b)
Следует ли отсюда, что ф-ция линейная, т.е. f(x) = c*x?
Если следует, то как доказать?
Если не следует, то можно ли опровергающий пример?

[Руст]

Отсюда не следует линейность, т.е. f(cx)=cf(x), если речь идёт о действительной прямой (а не о множестве рациональных чисел). Для получения линейности, достаточно требовать непрерывности функции хотя бы в одной точке.

[bot]

Хм, я вот тоже хотел так ответить, а потом задумался - а не следует ли непрерывность отсюда? Что-то с лёту не приходит в голову контрпример. Чтобы исключить случай дырявых областей определения, пусть f определена на всём R, тогда f(0)=0. Будет ли она непрерывной в точке 0?

[RIP]

Выберем базис Гамеля $\mathbb{R}$ над $\mathbb{Q}$ и каждому $x\in\mathbb{R}$ сопоставим его первую координату. Вот Вам стандартный пример. Примера, не использующего аксиому выбора, не существует.

Добавлено спустя 2 минуты 11 секунд:

А еще на лекции по функану говорили, что для линейности достаточно измеримости функции.

[bot]

Порылся на своём чердаке - не нашёл базиса Гамеля. Пойду учить матчасть.

[RIP]

Базис Гамеля-это обычный базис, про который учат в курсе линала. Возможно, правда, что я фамилию неправильно назвал("чё-то с памятью моей стало...")

[bot]

Всё верно - уже нашёл. Просто надо R рассмотреть как линейное пространство над полем Q. Тогда существует этот самый базис в обычном смысле - его элементы линейно независимы над Q (рассаматриваются конечные линейные комбинации) и любое действительное число представимо конечной линейной кмбинацией элементов базиса. Лемма Цорна в основе его существования.

[epros]

Правильно ли я понял, что из аксиомы выбора следует положительный ответ на мой вопрос?
Зачем же тогда линейное преобразование F(vec X) определяется как:
F(a * vec X + b * vec Y) = a * F(vec X) + b * F(vec Y) ?
Почему недостаточно F(vec X + vec Y) = F(vec X) + F(vec Y) ?

[Руст]

При последнем определении для многих полей получаются более общее чем линейные функции. Назовём их аддитивными. Чтобы аддитивная функция была линейной для поля действительных чисел (или его подполя) достаточно требовать непрерывность хотя бы в одной точке.
Например в поле чисел $Q(\sqrt 2 )$ можно определить функцию:
$f(a+b\sqrt 2 )=a+2b$ аддитивна, но не линейна.

[бобыль]

Про то, что одной аддитивности недостаточно для линейности функционала, а нужна еще и его однородность, написано в этой книжке, с. 80. Доказательство использует лемму Цорна, и в этом смысле неконструктивно.

[bot]

бобыль писал(а):

Про то, что одной аддитивности недостаточно для линейности функционала, а нужна еще и его однородность, написано в этой книжке, с. 80. Доказательство использует лемму Цорна, и в этом смысле неконструктивно.

А я вот с этой знакомство начал.

[epros]

Руст писал(а):

При последнем определении для многих полей получаются более общее чем линейные функции. Назовём их аддитивными. Чтобы аддитивная функция была линейной для поля действительных чисел (или его подполя) достаточно требовать непрерывность хотя бы в одной точке.

Увы, условия непрерывности хотя бы в одной точке у меня как раз и нет. В этом случае мне понятно, как перейти к линейности...

Руст писал(а):

Например в поле чисел $Q(\sqrt 2 )$ можно определить функцию:
$f(a+b\sqrt 2 )=a+2b$ аддитивна, но не линейна.

М-мм. Правильно ли я понял, что речь об объединении Q и Q *$\sqrt2$? Вообще-то, меня интересуют функции, определённые на всём множестве действительных чисел.

[bot]

epros писал(а):

М-мм. Правильно ли я понял, что речь об объединении Q и Q *$\sqrt2$? Вообще-то, меня интересуют функции, определённые на всём множестве действительных чисел.

Неправильно - речь идёт о множестве всех чисел вида $a + b\sqrt2$ с рациональными a и b. Это, конечно, не всё R, но этот пример проще функции определённой на всей числовой оси, которую указал RIP - он получается с использованием базиса Гамеля.

[RIP]

epros писал(а):

Правильно ли я понял, что из аксиомы выбора следует положительный ответ на мой вопрос?

Из неё следует как раз отрицательный ответ. Я же привел пример аддитивной нелинейной функции.

[epros]

bot писал(а):

epros писал(а):

М-мм. Правильно ли я понял, что речь об объединении Q и Q *$\sqrt2$? Вообще-то, меня интересуют функции, определённые на всём множестве действительных чисел.

Неправильно - речь идёт о множестве всех чисел вида $a + b\sqrt2$ с рациональными a и b. Это, конечно, не всё R, но этот пример проще функции определённой на всей числовой оси, которую указал RIP - он получается с использованием базиса Гамеля.

Понятно. Значит ли это, что примером аддитивной, но нелинейной ф-ции, определенной на R, можно считать, скажем, такое:
f(a+b) = a + 2*b, где a принадлежит Q, а b принадлежит R-Q?