Понятие ортогональности

[STilda]

Значит, еще один аспект ортогональности - перпендикуляр к заданной прямой, проходящий через заданную точку задает минимальное расстояние от точки до прямой. Именно отсюда исходит связь ортогональности с метрикой?

[Time]

STilda в сообщении #360589 писал(а):

Значит, еще один аспект ортогональности - перпендикуляр к заданной прямой, проходящий через заданную точку задает минимальное расстояние от точки до прямой. Именно отсюда исходит связь ортогональности с метрикой?

Для псевдоевклидовой плоскости, например, экстремальное расстояние от точки до прямой не минимально, а максимально. Именно поэтому тут говорят не о перпендикулярности, а об ортогональности, то есть, вводят новое понятие, обобщающее перпендикулярность. Еще сложнее дело с экстремумами расстояния от точки до прямой обстоит в финслеровых пространствах с полилинейными симметрическими формами вместо скалярного произведения. Тут не один экстремум, а несколько. Какой будем брать? Абсолютный минимум, абсолютный максимум, или один из локальных экстремумов? Как не крути - все важны и одним не обойтись..

[ewert]

Time в сообщении #360612 писал(а):

Именно поэтому тут говорят не о перпендикулярности, а об ортогональности, то есть, вводят новое понятие, обобщающее перпендикулярность.

Об ортогональности (вместо перпендикулярности) говорят и в евклидовом случае, и по совершенно другим причинам.

[Time]

ewert в сообщении #360615 писал(а):

Об ортогональности (вместо перпендикулярности) говорят и в евклидовом случае, и по совершенно другим причинам.

В евклидовом случае никто и ничто не запрещает говорить и о трансверсальности.
Можно Вас все таки попросить ответить на заданный выше вопрос, какие гиперкомплексные алгебры и соответствующие им пространства Вам хорошо знакомы, кроме кватернионов и октав? Ну, раз делителями нуля в алгебрах математики никогда не пренебрегали и всегда считали соответствующие гиперкомплексные числа естественными обобщениями действительных и комплексных?

[Руст]

Time в сообщении #360544 писал(а):

Многие математики по данному признаку делят пространства с неквадратичным типом метрической функции на собственно финслеровы и псевдофинслеровы. В частности, такого разделения придерживаются известные Вам Владимир Балан и Жонгмин Шен.
Вопрос: к какому из этих двух типов отнести пространство, связанное с алгеброй, являющейся прямой суммой двух комплексных алгебр? То есть пространство бикомплексных чисел?

Владимира Балан помню, очень приятный интеллигентный человек. После одного его выступления я указал ему на две мелкие ошибки. Он сразу понял (не стал спорить как некоторые) и поблагодарил меня за это. А Жонгмин Шен а я не помню, может молодой китаец из США.
Что касается добавки псевдо, мне оно не нравится, поэтому я использовал Минковского типа. К тому же в случае псевдоувклидовости оно применяется к любой сигнатуре. На самом деле сигнатуры кроме +===== по сути не задают никакой геометрии. В них отсутствует даже обратное неравенство треугольника, индикатрисы не выпуклые и не вогнутые, соответственно нет преобразования Лежандра или перехода от скоростей к импульсам. Поэтому такие геометрии не годны ни к чему. Я в свое время на этот счет спорил с Гарасько при предварительном чтении его книги. Он частично учел мои замечания и затушил явные ошибки, но до конца не учел их в изданной книге.
Что касается геометрии прямой суммы, то там всегда возникает метрика Минковского типа независимо от того, Евклидова или Минковского типа имеют прямые слагаемые. Дело в том, что метрика вводится через алгебраическую норму, являющийся детерминантом матрицы представления умножения. Для прямой суммы алгебр этот детерминант естественно определяется как произведение детерминантов в прямых слагаемых. При этом всегда возникает геометрия Минковского типа, Хотя обратное неравенство треугольника не является строгим (суммы неколлинеарных векторов типа (1,0,000)+(0,1,000) опять имеют нулевую норму, т.е. имеет место равенство), тем не менее, обычно единственность сохраняется.
Более специфическим является то, что такая метрика не согласуется никакой топологией. Однако они согласуются с квазитопологиями. Их можно ввести многими эквивалентными способами. В Фрёлёхер, Бухер е их вводят через фильтры с условиями сходимости фильтра, являющегося пересечением всех сходящихся фильтров к заданной точке. Как в Бурбаки (Основные структуры) их можно задать еще несколькими эквивалентными способами через аксиомы на окрестности. Я предпочитаю вводит через оператор замыкания $A\to cl(A)$ для подмножеств множества Х. При этом требуется множество $A$ является подмножеством $cl(A)$ отображение замыкания монотонно (если А подмножество B, то cl(A) подмножество cl(B)) замыкание пустого множества пустое и замыкание объединения двух множеств является объединением их замыканий. Если бы сюда добавили еще $cl(cl(A))=cl(A)$ проективность замыкания, то получили бы топологию. Однако именно это свойство мешается при определении дифференциального исчисления в бесконечномерных пространствах без нормы и при определении согласованной с финслеровой метрикой Минковского типа непрерывной структуры. Дело в том, что тут окрестности получаются гиперболические с хвостами. Если мы возьмем и объединим хоть и очень маленькие окрестности каждой точки из заданной окрестности, то получим все пространство (хвосты при передвижении покрывают все пространство). Это обстоятельство заставляет отказаться от открытых множеств, являющихся окрестностями всех своих точек, эквивалентно от условия замыкание замкнутого множества $cl(cl(A))$ совпадает с исходным $cl(A).$

[Time]

Написано много, но ответа на прямо поставленный вопрос - я не обнаружил:

Time в сообщении #360574 писал(а):

Тогда предлагаю рассмотреть треугольник в четырехмерном пространстве бикомплексных чисел с вершинами в начале координат и на концах векторов и , где - действительная единица, а - обычная эллиптически мнимая единица. Хотите сказать что для ТАКОГО треугольника неравенство обратное?

Поясните Вашу позицию, пожалуйста, именно по этому поводу.

P.S. Жонгмин Шен вовсе не молодой. Он соавтор классической книги по финслеровой геометрии в соавторстве с Ченом и Вао. Просто для нас многие китайцы имеют моложавый вид.

[ewert]

Time в сообщении #360624 писал(а):

Можно Вас все таки попросить ответить на заданный выше вопрос, какие гиперкомплексные алгебры и соответствующие им пространства Вам хорошо знакомы, кроме кватернионов и октав? Ну, раз делителями нуля в алгебрах математики никогда не пренебрегали

Нельзя, меня кватернионы и прочие октавы никогда не интересовали. И тем не менее: банальная алгебра квадратных матриц -- она с делителями нуля. И тем не менее -- ею никто и никогда не пренебрегал.

[Руст]

Time в сообщении #360661 писал(а):

Написано много, но ответа на прямо поставленный вопрос - я не обнаружил:

Time в сообщении #360574 писал(а):

Тогда предлагаю рассмотреть треугольник в четырехмерном пространстве бикомплексных чисел с вершинами в начале координат и на концах векторов и , где - действительная единица, а - обычная эллиптически мнимая единица. Хотите сказать что для ТАКОГО треугольника неравенство обратное?

Поясните Вашу позицию, пожалуйста, именно по этому поводу.
.

Да. Не важно, комлексное или нет. Вдоль направлений рассматриваемых векторов все равно метрика эквивалентна метрике на действительной прямой. Эти два вектора образуют плоскость, где соответствующая метрика оказывается как на прямой сумме двух прямых, т.е. как в $H_2$, где неравенство треугольника обратное.

[Time]

ewert в сообщении #360677 писал(а):

Нельзя, меня кватернионы и прочие октавы никогда не интересовали. И тем не менее: банальная алгебра квадратных матриц -- она с делителями нуля. И тем не менее -- ею никто и никогда не пренебрегал.

Речь изначально была о числах. Предполагаю, что о гиперкомплексных. "Банальная алгебра квадратных матриц" к какой из алгебр гиперчисел относиться? Да, между первыми и вторыми существует определенная связь. Но Вы то, оказывается, даже банальными кватернионами и октавами никогда не интересовались. Следовательно, Ваши суждения о других алгебрах гиперкомплексных чисел носят еще более поверхностный характер. Я правильно все понял?

-- Вс окт 10, 2010 17:21:35 --

Руст в сообщении #360680 писал(а):

Да. Не важно, комлексное или нет. Вдоль направлений рассматриваемых векторов все равно метрика эквивалентна метрике на действительной прямой. Эти два вектора образуют плоскость, где соответствующая метрика оказывается как на прямой сумме двух прямых, т.е. как в , где неравенство треугольника обратное.

Двумерная плоскость, натянутая на вектора $1$ и $i$ в пространстве бикомплексных чисел имеет метрику не $H_2$, а обычной $C$. Не верите - проверьте. Потом можно вернуться к вопросу о неравенстве треугольника.

[Руст]

Time в сообщении #360684 писал(а):

Двумерная плоскость, натянутая на вектора $1$ и $i$ в пространстве бикомплексных чисел имеет метрику не $H_2$, а обычной $C$. Не верите - проверьте. Потом можно вернуться к вопросу о неравенстве треугольника.

Если вы имеете вектора из одного $C$ то да, там уже метрика определена (метрика на подпроствах, являющихся прямыми слагаемыми остается тем же). Когда это в пространстве $C+C$ о котором вы много раз упомянули и я понял ваш вопрос именно так (с первой координаты 1, со второй i), то нет.

[Time]

Я обычно помятую и работаю с пространством $R+R+R+R$. Но в данном случае справшивал Вас о другом пространстве, а именно о $C+C$. В нем, в отличие от первого пространства, комплекнсная плоскость является линейным подпространством. В последнем, неравенство треугольника часто оказывается как прямое, а не обратное. Короче, лучше с финслеровыми пространствами быть поосторожнее. Не помешает..

[Руст]

Time в сообщении #360714 писал(а):

Я обычно помятую и работаю с пространством $R+R+R+R$. Но в данном случае справшивал Вас о другом пространстве, а именно о $C+C$. В нем, в отличие от первого пространства, комплекнсная плоскость является линейным подпространством. В последнем, неравенство треугольника часто оказывается как прямое, а не обратное. Короче, лучше с финслеровыми пространствами быть поосторожнее. Не помешает..

Я и ответил именно для этого. Замечание скорее касается вам, а не мне. Я немного не точно выразился на подпространстах сохраняется непрерывная структура. В прямой сумме неравенство треугольника всегда обратное.
В частности, пусть $a=(1,0),b=(i,0), c=(0,i)$.
В прямой сумме все вектора изотропные (с нулевой нормой). Рассмотрим $a+b$ он так же изотропен, следовательно $0=|a+b|\ge |a|+|b|=0+0$. Для $a+c$ получаем $|a+c|=|1|*|i|=1>|a|+|c|=0+0.$

[Time]

Руст в сообщении #360719 писал(а):

В прямой сумме все вектора изотропные (с нулевой нормой).

Псевдоевклидова плоскость изоморфна пространству, соответствующему прямой сумме двух действительных алгебр $R+R$. Вы хотите сказать, что все вектора двумерного пространства-времени изотропные (с нулевой нормой)?

[Руст]

Time в сообщении #360747 писал(а):

Руст в сообщении #360719 писал(а):

В прямой сумме все вектора изотропные (с нулевой нормой).

Псевдоевклидова плоскость изоморфна пространству, соответствующему прямой сумме двух действительных алгебр $R+R$. Вы хотите сказать, что все вектора двумерного пространства-времени изотропные (с нулевой нормой)?

Я выделил 3 вектора и речь идет о них. Не надо отрывать часть текста от основной части.

[Time]

Расшифруйте тогда, как понимать Ваше утверждение:

Руст в сообщении #360719 писал(а):

В прямой сумме все вектора изотропные (с нулевой нормой).