Магические квадраты

Nataly-Mak · 22/03/08 ∞ 7154 Саратов

Попробовала для смитов программу.
Вот для этих чисел в центральной ячейке квадрата проверила (магическая константа равна центральному числу умноженному на 7):

Код:

8014  8518  8680  9094  9166  9184  9274  9285  9346  9382  9598  9634  9742  9760  9778  9968  10462  10606  10786  10966

Программа за 10 секунд всё проверила и сказала "квадрата нет" :-)

Вряд ли смиты окажутся "везучее" простых чисел.

Процедуру проверки автоматизировала до максимума. Я тут уже выкладывала программу поиска идеального квадрата 7-го порядка, но тогда ещё надо было каждое центральное число вводить. Программы две, первая по центральному числу формирует набор комплементарных пар чисел, вторая проверяет этот набор на предмет построения примитивного квадрата. Сделала пакетный файл. Центральные числа ввожу порциями по 20 штук во входной файл. Дальше всё автоматически выполняется.

Если кто-то хочет попробовать поискать по моей программе идеальный квадрат 7-го порядка, напишите, я выложу обе программы и пакетный файл. Теперь, конечно, очень удобно: введу во входной файл порцию центральных чисел, запускаю пакетный файл и иду гулять. Можно увеличить порцию центральных чисел. Сейчас, когда набор комплементарных пар уже состоит из более 200 пар, на проверку одной магической константы уходит 30-90 секунд.

-- Вт окт 05, 2010 08:21:15 --

Пока у меня работает программа поиска идеального квадрата 7-го порядка, я "играю" с квадратами на листе бумаги. Вот составила идеальный квадрат 10-го порядка из простых чисел. Квадрат составлен из найденного мной идеального квадрата 5-го порядка. Конечно, числа повторяются:

Код:

173 1151 1091 1229 389 911 911 101 941
113 1091 1151 389 1229 911 911 941 101
839 521 1361 41 101 1013 953 1091 251
839 1361 521 101 41 953 1013 251 1091
881 953 113 701 701 449 1289 461 521
941 113 953 701 701 1289 449 521 461
1151 389 449 1361 1301 881 41 563 563
311 449 389 1301 1361 41 881 563 563
461 491 491 173 1013 251 311 1289 1229
1301 491 491 1013 173 311 251 1229 1289

Тем не менее можно посмотреть "анатомию" квадрата. Например, ему соответствует шаблон по модулю 6, состоящий из одних пятёрок.

Кстати, и идеальному квадрату 7-го порядка, показанному выше (в котором только одно число не является простым), тоже соответствует шаблон по модулю 6, состоящий из одних пятёрок.

Pavlovsky · 21/02/10 1594 Екатеринбург

По мотивам алгоритма svb.
По теореме 2.5 пандиагональный МК 6х6 можно разбить на 9 четверок. Каждая четверка имеет сумму S4=S*2/3, где S магическая константа. Пронумеруем эти четверки как показано в таблице:

Будем обозначать четверку Ci. Разобьем четверку на две пары, по диагонали, как показано в таблице, на примере четверки C1. Пары выделены желтым и красным цветом. Пары будем обозначать Pij, где i номер четверки, j=1 для пары по прямой диагонали и j=2 для пары по обратной диагонали. Получилось 18 пар.

Утверждение. Каждая пара принадлежит двум диагоналям пандиагональный МК и каждая диагональ состоит из трех пар. Соответственно верны равенства (причем каждая пара входит ровно в два равенства):
P11+P51+P91=S
P11+P62+P82=S
Выше приведены равенства для пары P11. Таких равенств можно выписать 12, по количеству диагоналей. Решая эту систему равенств получим, что только 4 пары (если магическая константа считается известной) являются независимыми, а остальные вычисляются по этим независимым парам. Пары можно представить в виде двух таблиц 3х3.

Утверждение. Таблицы являются примитивными квадратами. То есть для чисел в таблицах выполняется равенство: Aij+Akl=Ail+Akj. Примеры равенств:
P51 + P91 = P62 + P82
P61 + P72 = P41 + P92
P42 + P82 = P51 + P71

Используя вышеописанные свойства, получается такой алгоритм построения пандиагональный МК 6х6.

1) Сначала строим два примитивных квадрата 3х3. Точнее один квадрат, второй вычисляется по первому. В качестве независимых переменных берем P11, P22, P42, P31. Так как квадраты примитивные, то для избежания изоморфных повторений, можно строить их в нормализованном виде: $P_{11} \leq P_{22}$ , $P_{22} \leq P_{42}$ , $P_{22} \leq P_{31}$ , $P_{42} \leq P_{71}$ . P71 зависимая переменная, но проверку условия нормализации делать надо. В результате мы получим пандиагональный МК с выставленными суммами в диагоналях.
2) Меняя местами числа в парах, выставляем сумму в строках и столбцах.

Реализация этого алгоритма позволила найти квадрат из чисел Смита, в котором выставлены все диагонали с магической суммой 3966.

Код:

4   778   121   1111   166   1795
85   517   202   355   346   958
706   265   535   391   895   94
1507   58   274   22   1642   454
1219   526   1165   985   1255   319
634   922   382   913   562   1633

Увы, выставить строки и столбцы для этого квадрата невозможно.

Nataly-Mak · 22/03/08 ∞ 7154 Саратов

Как я уже сообщала, с применением примитивных квадратов 3х3 внутри идеального квадрата 9-го порядка мне удалось свести количество независимых переменных при построении такого квадрата к 11. А в общей формуле идеального квадрата 9-го порядка 24 независимых переменных (при заданной магической константе). Получается уменьшение более чем в два раза. И программу я уже написала, но надо её крутить, проверять наборы комплементарных пар чисел.

Pavlovsky
сколько независимых переменных у вас при построении пандиагонального квадрата 6-го порядка по приведённому выше алгоритму с использованием примитивных квдаратов?

В общей формуле пандиагонального квадрата 6-го порядка имеем 16 независимых переменных (при известной магической константе). Алгоритм svb позволил свести количество независимых переменных к 12. Однако практически это не совсем так. Для того чтобы приступить к перебору с 12 независимыми переменными, необходимо задать ещё комплект отклонений, а это плюс 4 независимых отклонения. И опять фактически получаем 16 независимых переменных. Только все 16 переменных как бы разнесены на две ветви алгоритма: первая ветвь - поиск комплекта отклонений, вторая ветвь - построение пандиагонального квадрата. Тем не менее это дало колоссальный выигрыш во времени во второй ветви алгоритма (при переборе).

Это хорошо, что вы занимаетесь пандиагональными квадратами 6-го порядка из смитов. Тут у нас недоработка, svb не дорешал задачу до конца :wink:

И я тоже бросила. Последний найденный мной квадрат имеет магическую константу 5964. Может быть, это наименьший пандиагональный квадрат из смитов? Вопрос открытый.

_______
Проверила потенциальные магические константы для идеального квадрата 7-го порядка из простых чисел до 120617. Пока прекращаю поиск такого квадрата. Работать надо :-)

Посмотрела ещё на программу построения совершенного квадрата 6-го порядка. Удалось уменьшить количество независимых переменных на 1, теперь их всего 6. Опять же надо выполнять проверку комплементарных пар чисел. Теперь программа быстрее выполняется. Вчера проверила ещё один набор с суммой в паре 990, это 52 комплементарных пары. Последняя проверенная мной пара была с суммой в паре 870 (46 пар).

Пока работала программа поиска идеального квадрата 7-го порядка, составила идеальный квадрат 12-го порядка из простых чисел на основе идеального квадрата 6-го порядка, найденного maxal'ем.

Код:

263 59 313 163 47 233 61 139 149 293 157
103 313 59 47 163 61 233 149 139 157 293
23 257 73 307 101 131 277 13 317 53 199
229 73 257 101 307 277 131 317 13 199 53
167 17 271 67 227 173 37 181 191 269 97
283 271 17 227 67 37 173 191 181 97 269
233 149 139 157 293 263 103 313 59 47 163
61 139 149 293 157 103 263 59 313 163 47
131 317 13 199 53 23 229 73 257 101 307
277 13 317 53 199 229 23 257 73 307 101
173 191 181 97 269 167 283 271 17 227 67
37 181 191 269 97 283 167 17 271 67 227

Конечно, числа в этом квадрате повторяются, составить такой квадрат очень просто. Тем не менее я всегда анализирую даже простые квадраты, потому что в них можно увидеть такие закономерности, какие не увидишь в квадрате из различных чисел. Так совсем недавно именно в идеальном квадрате 8-го порядка с повторяющимися числами я увидела очень интересную зависимость между строками.

Потом попробовала составить идеальный квадрат 12-го порядка из пандиагональных квадратов 4-го порядка. Увы, он не получился полностью из простых чисел, в девятую решётку пришлось записать тривиальный пандиагональный квадрат 4-го порядка, состоящий из одного числа 1155. Всё равно интересный нетрадиционный идеальный квадрат 12-го порядка получился:

Код:

73 97 863 197 1019 1423 2083 1217 2297 2267 2287
1155 2179 421 1155 1871 1847 1155 397 2203 1155 173
2251 2293 1223 2099 1427 1013 181 859 103 89 41
2099 1223 2293 2251 2281 41 89 103 859 181 1013
1155 421 2179 1155 149 173 1155 2203 397 1155 1847
197 863 97 73 37 2287 2267 2297 1217 2083 1423
227 1093 13 43 23 2273 2237 2213 1447 2113 1291
1155 1913 107 1155 2137 2161 1155 131 1889 1155 439
2129 1451 2207 2221 2269 29 59 17 1087 211 883
2221 2207 1451 2129 1297 883 211 1087 17 59 29
1155 107 1913 1155 463 439 1155 1889 131 1155 2161
43 13 1093 227 887 1291 2113 1447 2213 2237 2273

При построении этого квадрата использованы 4 пандиагональных квадрата 4-го порядка с одинаковой магической константой 4620.

Ещё составила идеальный квадрат 10-го порядка из простых чисел по другому алгоритму (из арифметической прогрессии длины 13). Позже его приведу.

И последнее. Проанализировала нетрадиционный идеальный квадрат 7-го порядка. Как известно, классический идеальный квадрат 7-го порядка элементарно получается из самого простого обратимого квадрата:

Код:

2 3 4 5 6 7
9 10 11 12 13 14
16 17 18 19 20 21
23 24 25 26 27 28
30 31 32 33 34 35
37 38 39 40 41 42
44 45 46 47 48 49

Так вот, записала полученный мной нетрадиционный идеальный квадрат 7-го порядка в полном соответствии с этим обратимым квадратом, получился в чистом виде примитивный квадрат:

Код:

563 2393 3203 4013 5843 6353
1193 3023 3833 4643 6473 6983 
15269 17099 17909 18719 20549 21059 
9341 11171 11981 12791 14621 15131 
3413 5243 6053 6863 8693 9203
17489 19319 20129 20939 22769 23279 
18119 19949 20759 21569 23399 23909

Теперь пронумеровываем числа этого примитивного квадрата в естественном порядке и заполняем матрицу 7х7 в соответствии с таким классическим идеальным квадратом (числа в этом квадрате суть номера чисел в примитивном квадрате):

Код:

18 33 48 8 28 37
14 23 38 4 19 34
5 20 29 49 9 24
44 10 25 40 6 15
41 1 21 30 45 11
31 46 12 27 36 7
22 42 2 17 32 47

Готовый нетрадиционный идеальный квадрат показан выше.

Всё очень просто. А идеальный квадрат из простых чисел не находится :-(

Nataly-Mak · 22/03/08 ∞ 7154 Саратов

Для построения идеального квадрата 10-го порядка взяла арифметическую прогрессию из простых чисел: $14933623 + 30030n, n = 0, 1, 2, ..., 12$ (прогрессия найдена в 1999 г., автор David W. Wilson).
Применила тот алгоритм, которым строила идеальные квадраты 6-го порядка подобные квадрату Журбы.
Конечно, в квадрате очень много одинаковых чисел, разных чисел только 10 и каждое из них повторяется 10 раз.

Код:

14933623 15263953 15203893 15173863 14993683 14993683 15173863 15203893 15263953 14933623
15293983 14963653 15023713 15053743 15233923 15233923 15053743 15023713 14963653 15293983
14933623 15263953 15203893 15173863 14993683 14993683 15173863 15203893 15263953 14933623
15293983 14963653 15023713 15053743 15233923 15233923 15053743 15023713 14963653 15293983
14933623 15263953 15203893 15173863 14993683 14993683 15173863 15203893 15263953 14933623
15293983 14963653 15023713 15053743 15233923 15233923 15053743 15023713 14963653 15293983
14933623 15263953 15203893 15173863 14993683 14993683 15173863 15203893 15263953 14933623
15293983 14963653 15023713 15053743 15233923 15233923 15053743 15023713 14963653 15293983
14933623 15263953 15203893 15173863 14993683 14993683 15173863 15203893 15263953 14933623
15293983 14963653 15023713 15053743 15233923 15233923 15053743 15023713 14963653 15293983

Если к этому идеальному квадрату применить преобразование 3-х квадратов, получится совершенный квадрат:

Код:

14933623 15263953 15203893 15173863 14993683 14933623 15263953 15203893 15173863 14993683
15293983 14963653 15023713 15053743 15233923 15293983 14963653 15023713 15053743 15233923
14933623 15263953 15203893 15173863 14993683 14933623 15263953 15203893 15173863 14993683
15293983 14963653 15023713 15053743 15233923 15293983 14963653 15023713 15053743 15233923
14933623 15263953 15203893 15173863 14993683 14933623 15263953 15203893 15173863 14993683
15293983 14963653 15023713 15053743 15233923 15293983 14963653 15023713 15053743 15233923
14933623 15263953 15203893 15173863 14993683 14933623 15263953 15203893 15173863 14993683
15293983 14963653 15023713 15053743 15233923 15293983 14963653 15023713 15053743 15233923
14933623 15263953 15203893 15173863 14993683 14933623 15263953 15203893 15173863 14993683
15293983 14963653 15023713 15053743 15233923 15293983 14963653 15023713 15053743 15233923

Если применить этот алгоритм к произвольным натуральным числам, можно построить идеальный и совершенный квадраты 10-го порядка из различных чисел, что и было сделано в моей статье "Нетрадиционные магические квадраты".
А вот из различных простых чисел пока приходится довольствоваться квадратами с повторяющимися числами.

Аналогичные квадраты 10-го порядка можно составить из смитов; здесь была найдена прогрессия из смитов длины 13 (автор tolstopuz; забросил совсем магические квадраты :-)

).

Nataly-Mak · 22/03/08 ∞ 7154 Саратов

А в совершенном квадрате 6-го порядка примитивные квадраты 3х3 очень хороши, прямо в чистом виде, по всем решёткам, и числа в парах не надо переставлять, потому что в совершенном квадрате используются комплементарные пары чисел.
Сейчас попыталась ещё уменьшить количество независимых переменных с использованием примитивных квадратов, кажется, получилось уменьшить до 4.

Надо новую программу писать.

Nataly-Mak · 22/03/08 ∞ 7154 Саратов

Написала новую программу построения совершенного квадрата 6-го порядка. Всего 4 независимых переменных! Ещё недавно проверить 91 пару комплементарных чисел было большой проблемой (svb посчитал, что программа будет выполняться 90 часов :-)

).
Сейчас проверяю наборы из более 100 пар. И программа выполняется 10-15 минут. Вот что значит оптимизация!

Последний проверенный набор состоит из 169 комплементарных пар простых чисел, константа комплементарности равна 5430. Я, конечно, не подряд проверяю, с небольшим количеством комплементарных пар, по-моему, бесполезно проверять; хотя бы с большой магической константой найти квадрат. Для указанного набора уже находятся 28 чисел совершенного квадрата:

Код:

5147 1823 2267 2963 4007
1039 2851 3919 0 0
3299 3671 419 0 0
2467 1423 5347 283 3607
0 0 839 4391 2579
0 0 3499 2131 1759

Чуть-чуть не хватило, всего 8 чисел. Проверила этот полуфабрикат, вроде всё нормально в нём.

Совершенные магические квадраты - это самые лучшие квадраты. Классические совершенные квадраты существуют только порядков $n = 4k, k = 1, 2, 3, ...$ . А нетрадиционные для любого чётного порядка, начиная с $n = 4$ .

ice00 пытаюсь заинтересовать совершенными квадратами из простых чисел. Он пишет, что медленно у него идёт чтение страниц форума, но читает понемногу.
О совершенных квадратах не знает, я ему послала две статьи на английском языке о совершенных квадратах. Он ответил, что будет с ними знакомиться, а потом, возможно, приступит к разработке алгоритма построения совершенных квадратов из простых чисел и из смитов.

Кстати, сначала послала ему ссылку на одну статью (её тут maxal приводил, я с ней работала в своё время), а он пишет, что ссылка уже не работает.

Тогда послала ему копию этой статьи. И ещё статью этой дамы (как-то так её инициалы: К. О.), которая со своим коллегой исследовала классические совершенные квадраты 8-го порядка вдоль и поперёк. Очень интересная дама, к квадратам неравнодушна прямо как я :-)

Если кто интересуется совершенными квадратами, я могу выложить имеющиеся у меня статьи на английском языке. Ну, мои статьи об этих квадратах уже давно выложены.

Nataly-Mak · 22/03/08 ∞ 7154 Саратов

Для константы комплементарности 6630 имеем 218 пар. Уже 30 чисел нашлись. Для оставшихся 6 чисел убрала проверку на принадлежность массиву, совершенный квадрат построился такой:

Код:

6151 2503 2551 3631 5023
947 3659 4547 2531 2075
4423 4231 823 5359 3295
2999 1607 6599 479 4127
4099 4555 499 5683 2971
1271 3335 4871 2207 2399

Шесть чисел в нём не являются простыми.
Ещё совсем чуть-чуть осталось до совершенного квадрата, полностью составленного из простых чисел.

Программу очень быстро писала, может быть, в каком-нибудь квадрате 2х2 не проверила сумму, но вроде всё правильно.

Nataly-Mak · 22/03/08 ∞ 7154 Саратов

Вспомнила...

maxal
вы давно сообщали здесь, что отсканировали очень редкую книгу о совершенных квадратах, может быть, вот эту:

Ollerenshaw,K. (1986) On ‘most perfect’ or ‘complete’ 8 x 8 pandiagonal magic squares. Proceedings of the Royal Society of London A407, p.259-281

или эту:

K. Ollerenshaw and D.S. Br´ee, Most-perfect pandiagonal magic squares: their
construction and enumeration (Institute for Mathematics and its Applications,
Southend-on-Sea, 1998)

Не могли бы выложить?

У меня есть статья K. Ollerenshaw (2008 г.), shwedka прислала давно. Могу выложить.

-- Пт окт 08, 2010 07:43:38 --

Полностью автоматизировала процедуру проверки наборов комплементарных пар простых чисел на предмет построения совершенного квадрата 6-го порядка.
Начала проверять не выборочно, а подряд, начиная с константы комплементарности 6630. Вот нашёлся ещё совершенный квадрат, в котором уже только три числа не являются простыми:

Код:

5441 1627 4241 2857 4211
839 5449 2039 4219 2069
4547 2521 3347 3751 3317
3821 2467 5021 1237 5051
2459 4609 1259 5839 1229
2927 3361 4127 2131 4157

Покручу ещё немного программу, может быть, найду искомый совершенный квадрат 6-го порядка из простых чисел.

Nataly-Mak · 22/03/08 ∞ 7154 Саратов

И последнее приближение - в этом совершенном квадрате только одно число не является простым:

Код:

577  6131  2137  2777  3931  4337 
 4933  1619  3373  4973  1579  3413 
 2797  3911  4357  557  6151  2117 
 3853  2699  2293  6053  499  4493 
 1657  5051  3217  1697  5011  3257 
 6073  479  4513  3833  2719  2273

Вот, решаю задачу методом последовательных приближений :-)

Следующий квадрат должен быть настоящим, то есть будет составлен из различных простых чисел. Но будет ли? Для идеального квадрата 7-го порядка из простых чисел тоже нашла последнее приближение - квадрат с одним не простым числом, и на этом всё закончилось. Проверила очень много потенциальных констант и - ничего! Может быть, и совершенный квадрат 6-го порядка найти не удастся. Ну, если очень долго мучиться :-)

Кто-нибудь поискал бы арифметические прогрессии из простых чисел (и из смитов) нужного вида, чтобы построить идеальный квадрат 7-го порядка и совершенный квадрат 6-го порядка.

tolstopuz
Ау! Вы где вообще пропадаете? Сюда заходите ли? У вас с прогрессиями очень хорошо получалось из смитов. Нашли самую длинную. Да что-то всё бросили.

tolstopuz · 31/12/05 1525

Nataly-Mak в сообщении #360116 писал(а):

Ау! Вы где вообще пропадаете? Сюда заходите ли? У вас с прогрессиями очень хорошо получалось из смитов. Нашли самую длинную. Да что-то всё бросили.

Потому и бросил, что тем алгоритмом еще длиннее не получится, а на другой времени нет.

Nataly-Mak · 22/03/08 ∞ 7154 Саратов

Может быть, поискать готовые алгоритмы?
Уже не помню, в этой ли теме или в какой-то другой, я спрашивала maxal'а, существуют ли алгоритмы поиска арифметических прогрессий. Он ответил, что существуют и даже дал ссылку.

А как вы оцениваете возможность найти 7 арифметических прогрессий длины 7 с одинаковой разностью из простых чисел (или из смитов), первые члены которых удовлетворяют одному из следующих условий:
1) тоже образуют арифметическую прогрессию; это довольно жёсткое условие;
2) связаны определённым соотношением (это соотношение я приводила выше).

Я тут приводила пример для арифметических прогрессий из простых чисел с разностью 210. Из очень небольшого количества таких прогрессий, имеющихся у меня в наличии, удалось найти 5 прогрессий, удовлетворяющих нужному условию. Если бы прогрессий было больше, может быть, и все 7 удалось бы найти.

svb · 20/01/10 766 Нижний Новгород

Nataly-Mak в сообщении #360094 писал(а):

Ollerenshaw,K. (1986) On ‘most perfect’ or ‘complete’ 8 x 8 pandiagonal magic squares. Proceedings of the Royal Society of London A407, p.259-281

http://rspa.royalsocietypublishing.org/content/407/1833/259.full.pdf+html?sid=f5386b78-5b7c-42d3-bb67-d50482c2c3de
А вот другую статью (98 года) не дают :-(

Nataly-Mak · 22/03/08 ∞ 7154 Саратов

Проверила наборы комплементарных пар простых чисел с константами комплементарности от 5430 до 9494, что соответствует потенциальным магическим константам от 16290 до 28482 (магические константы с шагом 12). И ещё много потенциальных магических констант проверила выборочно.
Совершенный квадрат 6-го порядка не найден.
Много находится квадратов, в которых только одно число не является простым. Вот, например, ещё один такой квадрат:

Код:

337  12203  3967  5573  6967  9203 
 10159  2801  6529  9431  3529  5801 
 5209  7331  8839  701  11839  4331 
 7177  5783  3547  12413  547  8783 
 3319  9221  6949  2591  9949  6221 
 12049  911  8419  7541  5419  3911

Полностью из простых чисел совершенный квадрат никак не хочет складываться :-(

Заметила при выполнении “вертушки” странное явление.
В пакетном файле записано копирование константы комплементарности из входного файла:

Код:

COPY A1.TXT B2.TXT
KOMPLA.EXE
SOV6A.EXE
COPY A2.TXT B2.TXT
KOMPLA.EXE
SOV6A.EXE
COPY A3.TXT B2.TXT
KOMPLA.EXE
SOV6A.EXE
. . . . . . . . . .

Когда наблюдала за процессом, заметила, что некоторые константы комплементарности не копируются, то есть на экране появляется 0 вместо нужной константы комплементарности. Почему так происходит?
Так это значит, что когда не наблюдала за выполнением программ, некоторые константы комплементарности пропустились.
Сделала копирование дважды:

Код:

COPY A1.TXT B2.TXT
KOMPLA.EXE
SOV6A.EXE
COPY A2.TXT B2.TXT
COPY A2.TXT B2.TXT
KOMPLA.EXE
SOV6A.EXE
COPY A3.TXT B2.TXT
COPY A3.TXT B2.TXT
KOMPLA.EXE
SOV6A.EXE
. . . . . . . . . .

Пропускать стала реже, но всё равно пропускает.

Придётся для дальнейшей проверки писать одну программу, которая объединит оба этапа: формирование набора комплементарных пар и проверку этого набора на предмет построения совершенного квадрата. Сначала было лень объединять две программы в одну, и сделала “вертушку”. Однако она работает с браком. Лень всегда наказуема :-)

_______

Пока работала программа, составила идеальный квадрат 16-го порядка из простых чисел, конечно, с повторениями чисел. Он составлен из восьми пандиагональных квадратов 4-го порядка с одинаковой магической константой, но из различных чисел. В квадрате 128 различных числа, каждое из них повторено дважды.

Код:

73 97 149 863 197 1019 421 1423 2083 1217 1847 2297 2267 2287 2203
293 523 613 587 487 827 647 1609 1709 1201 1249 2153 2131 2069 2111
1951 2087 2143 1279 1319 1753 1619 617 709 443 577 643 641 337 281
2281 2251 2293 1871 1223 2099 1427 397 1013 181 859 173 103 89 41
2099 1223 1871 2293 2251 2281 2179 41 89 103 173 859 181 1013 397
1753 1319 1279 2143 2087 1951 2081 281 337 641 643 577 443 709 617
827 487 587 613 523 293 271 2111 2069 2131 2153 1249 1201 1709 1609
1019 197 863 149 97 73 37 2203 2287 2267 2297 1847 1217 2083 1423
227 1093 463 13 43 23 107 2273 2237 2213 2161 1447 2113 1291 1889
601 1109 1061 157 179 241 199 2039 2017 1787 1697 1723 1823 1483 1663
1601 1867 1733 1667 1669 1973 2029 229 359 223 167 1031 991 557 691
1297 2129 1451 2137 2207 2221 2269 131 29 59 17 439 1087 211 883
2221 2207 2137 1451 2129 1297 1913 883 211 1087 439 17 59 29 131
1973 1669 1667 1733 1867 1601 1693 691 557 991 1031 167 223 359 229
241 179 157 1061 1109 601 701 1663 1483 1823 1723 1697 1787 2017 2039
23 43 13 463 1093 227 887 1889 1291 2113 1447 2161 2213 2237 2273

Интересно отметить, что этот квадрат обладает и свойством ассоциативности, и свойством комплементарности (как в совершенных квадратах), однако совершенным квадратом не является.

_________

Скачала и бегло просмотрела книгу: В. В. Трошин. Магия чисел и фигур. - М.: Глобус, 2007.
Ничего нового для себя в книге не нашла о магических квадратах. Раздел о магических квадратах в книге довольно большой, но некий винегрет из давно известных сведений и квадратов.
Только один магический квадрат мне понравился, и тот тоже не автору книги принадлежит, был опубликован в журнале “Математика в школе”, 1995 г. Автор квадрата С. Т. Берколайко. Этот магический квадрат концентрический, в квадрате 7х7 содержится магический квадрат 5х5, а в нём магический квадрат 3х3. Все простые числа в этом квадрате оканчиваются цифрой 7 и представимы в виде $30n + 17$ .

Автор книги пишет: “С. Т. Берколайко принадлежит авторство теоремы о необходимости и достаточности существования магического квадрата из 9 попарно различных чисел”.
По-моему, это неверное утверждение. Теорема о необходимом и достаточном условии существования магического квадрата из 9 попарно различных чисел известна давно; наверняка, она была известна автору общей формулы магического квадрата 3-го порядка Бергхольту, да и профессору Ермакову, тоже предложившему общую формулу такого квадрата, тоже, видимо, была известна.
Скорее всего, С. Т. Берколайко просто опубликовал в журнале “Математика в школе” эту теорему без всяких ссылок на источник, откуда он эту теорему взял. Поэтому Трошин подумал, что Берколайко и является автором этой теоремы. Очень распространённое заблуждение!

И ещё один существенный недостаток. Автор книги тоже пользуется устаревшей терминологией, называя пандиагональные квадраты совершенными. И, конечно, о настоящих совершенных магических квадратах он вообще ничего не пишет.
Говорю “тоже”, имея в виду книгу Ю. В. Чебракова “Магические квадраты. Теория чисел, алгебра, комбинаторный анализ”. - С. - Петербург, 1995.

Nataly-Mak · 22/03/08 ∞ 7154 Саратов

В этом архиве три статьи на английском языке и мои статьи о совершенных магических квадратах:

http://www.natalimak1.narod.ru/mk/Most- ... quares.rar

Ещё приложение - совершенные магические квадраты 8-го порядка, построенные методом качелей.

Nataly-Mak · 22/03/08 ∞ 7154 Саратов

Есть совершенный квадрат 6-го порядка из простых чисел :!:

Код:

9161 2309 6701 2609 8861
1483 6907 3943 6607 1783
5171 6299 2711 6599 4871
7321 1069 9781 769 7621
3323 8147 863 8447 3023
3331 5059 5791 4759 3631

Магическая константа квадрата равна 29790. В минимальности, конечно не уверена.
Константа комплементарности равна 9930, 266 комплементарных пар чисел! Квадрат нашёлся при запуске проверки этого набора комплементарных пар за 5 секунд.

Уже хотела бросить проверку, но интуиция говорила: квадрат где-то рядом, проверь ещё немного. Послушалась интуицию, и вот квадрат действительно был рядом :-)

Но вполне может быть, что я пропустила квадрат с меньшей магической константой по причине, указанной выше. Кроме того, я начала проверять с константы комплементарности равной 5430, а может быть, существует квадрат с меньшей константой комплементарности. Ну, хоть один квадрат нашла, счастлива до бесконечности

Научный форум dxdy

Магические квадраты

Кто сейчас на конференции