Оценки сверху и снизу для p(k)

[EtCetera]

Возник следующий вопрос (отчасти в связи с этой темой).
Каковы оценки сверху и снизу для $p_k$ ($k$-го простого числа)? Эти достаточно наивные вопросы (с ответами) почему-то быстро нигде не находятся...

(Мои соображения)

Снизу: $p_k\ge k+1$ (очевидно), сверху: $p_k<2^{k-1}+2$ (вроде бы следует из постулата Бертрана). Понятно, что обе достаточно плохие...

Аналогичный вопрос для $P_n=\prod\limits_{k=1}^n p_k$.

(Мои соображения)

Снизу: $P_{n}\ge (n+1)!$ (очевидно), сверху (основываясь на оценке для $p_k$): $P_{n}\le\prod\limits_{k=1}^n 2^k\le 2^{\frac{n(n+1)}{2}}$.

[ИСН]

Оценка $k\ln k$, но она не сверху и не снизу.