2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




Начать новую тему Ответить на тему На страницу 1, 2, 3, 4, 5 ... 7  След.
 
 Осцилляторы на пружине. Подскажите литературу по материалу.
Сообщение06.10.2010, 13:15 


06/10/10
106
Требуется запрограммировать простейший случай шарика, удерживаемого двумя пружинами по бокам, которые закреплены к фиксированным поверхностям. У пружин определённая задаваемая жёсткость.

Копаюсь сейчас по материалам в поисковиках, найти, хотя бы, формулы для этой задачи. Различные случаи похожих задач я нахожу.. но может кто-то подскажет в какой литературе описывается мой случай? Наверняка это распространённая задача, возможно, и есть решение решение, не хотелось бы изобретать велосипед. Да я в дифурах и не очень силён, честно говоря :)

 Профиль  
                  
 
 Re: Осцилляторы на пружине. Подскажите литературу по материалу.
Сообщение06.10.2010, 14:03 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


07/01/10
2015
Второй закон Ньютона. А дифур может решить какой-нибудь матпакет (Mathematica, Maple, ...).

 Профиль  
                  
 
 Re: Осцилляторы на пружине. Подскажите литературу по материалу.
Сообщение06.10.2010, 15:36 


06/10/10
106
Спасибо!

Вот тут нашёл что-то похожее на свою проблему: http://www.ict.nsc.ru/ru/textbooks/akhm ... /m-15.html
$x''+(k/m)x=0;$
Кстати, обозначение х с двумя точками вверху, это вторая производная? :) (http://upload.wikimedia.org/math/d/b/1/ ... edda3e.png вот тут, например)

Здесь х, получается отражает нашу силу, действующую на шарик в горизонтальной плоскости?

И в данном уравнении получается, что обе пружины одинаковой жёсткости? А как-нибудь вот так:
$x''+(k_1/m)x+(k_2/m)x=0;$
можно расширить решение, чтобы оно учитывало жесткости обеих пружин?

 Профиль  
                  
 
 Re: Осцилляторы на пружине. Подскажите литературу по материалу.
Сообщение06.10.2010, 17:52 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


07/01/10
2015
JustAMan в сообщении #359665 писал(а):
Кстати, обозначение х с двумя точками вверху, это вторая производная?

Да
JustAMan в сообщении #359665 писал(а):
Здесь х, получается отражает нашу силу, действующую на шарик в горизонтальной плоскости?

$x$ -- это координата.
JustAMan в сообщении #359665 писал(а):
можно расширить решение, чтобы оно учитывало жесткости обеих пружин?

Вынесите $x$ за скобку.

 Профиль  
                  
 
 Re: Осцилляторы на пружине. Подскажите литературу по материалу.
Сообщение09.10.2010, 00:55 


06/10/10
106
Тут ещё небольшая проблемка нарисовалась.. У меня вторая производная этого выражения:
$x''+(k/m)x=0;$
$x''= - (k/m) * x;$
получается нулю равной) В чём тут подвох? Не пойму тогда как её использовать, если после подсчёта второй производной формула нулём получается) в какой же я икс-то подставлять координату шара тогда буду :)

-- Сб окт 09, 2010 02:02:17 --

Аа.. кажется начинает доходить) Я же производную по X считаю, а Х это же у нас теперь фиксированная координата.. А что же у нас тут, получается, переменной будет?) Масса - тоже константа, жёсткость - тоже вроде задаваемая константа.. всё константы, получаются)

 Профиль  
                  
 
 Re: Осцилляторы на пружине. Подскажите литературу по материалу.
Сообщение09.10.2010, 06:36 


20/09/10
65
Получается, наверное так.
Изображение
(0 - положение равновесия).

$\[m\ddot x =  - {T_2} - {T_1} =  - {k_2}x - {k_1}x =  - ({k_2} + {k_1})x\]
$
$\[\ddot x = \frac{{ - ({k_2} + {k_1})}}
{m}x\]
$

 Профиль  
                  
 
 Re: Осцилляторы на пружине. Подскажите литературу по материалу.
Сообщение09.10.2010, 12:34 


06/10/10
106
Flooder
Спасибо за наглядный пример!

А в таком случае в производной, переменной будет что считаться, $x$? При таком раскладе вторая производная получается нулю равной.. А как же использовать эту (последнюю) формулу? :)

У нас ведь после первой производной получится выражение:
$x' = (k1-k2)/m$
а со второй - производная от константы, ноль..

 Профиль  
                  
 
 Re: Осцилляторы на пружине. Подскажите литературу по материалу.
Сообщение09.10.2010, 13:39 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


30/01/06
72407
Производные берутся по времени, $t.$ Формулы представляют собой дифференциальные уравнения, их следует решать.

 Профиль  
                  
 
 Re: Осцилляторы на пружине. Подскажите литературу по материалу.
Сообщение09.10.2010, 14:40 


06/10/10
106
Munin в сообщении #360342 писал(а):
Производные берутся по времени, $t.$ Формулы представляют собой дифференциальные уравнения, их следует решать.

Ух блин.. тут походу я совсем встал в тупик. Так там ведь такой переменной как $t$ вообще нету..) Я решать пытаюсь их через пакет "Mathematica":
Код:
in: f := x * (-(k2+k1)/m)
in: D[f,{x,2}]
out: 0

а ответом получает ноль. Ну если и по t её брать - там ведь вся правая часть константой получается.. Подскажите чайнику, в какую сторону копать мне?

 Профиль  
                  
 
 Re: Осцилляторы на пружине. Подскажите литературу по материалу.
Сообщение09.10.2010, 15:20 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


30/01/06
72407
JustAMan в сообщении #360360 писал(а):
Munin в сообщении #360342 писал(а):
Производные берутся по времени, $t.$ Формулы представляют собой дифференциальные уравнения, их следует решать.

Ух блин.. тут походу я совсем встал в тупик. Так там ведь такой переменной как $t$ вообще нету..)

Есть, только её не принято явно выписывать, ради экономии места и большей прозрачности формул. У вас здесь есть единственная функция от времени - $x(t),$ все остальные буквы - константы. На эту функцию наложено обыкновенное дифференциальное уравнение второго порядка, линейное (точка сверху обозначает первую производную по $t,$ две точки - вторую). Для того, чтобы найти однозначное решение (движение системы), необходимо ещё задать какие-либо дополнительные условия, например, начальные ($x(0),$ $\dot{x}(0)$). Но чтобы проанализировать систему в общем виде, это не обязательно, а по одному уравнению можно найти общее решение (в вашем случае - параметризованное двумя действительными параметрами).

Именно вследствие решения такого дифференциального уравнения ($\ddot{x}+\omega^2x=0$) получится знакомая функция гармонического колебания $A\cos(\omega t+\varphi_0).$ Как получить такое решение в Mathematica - не знаю, не разбираюсь в этом пакете.

JustAMan в сообщении #360360 писал(а):
Подскажите чайнику, в какую сторону копать мне?

Даже не представляю, как-то слишком странно, чтобы вам задали такую задачу, не дав никаких начальных сведений. Всё это на уровне начальных глав учебников по механике (из курсов общей физики), плюс начальных сведений о дифференциальных уравнениях (хотя может потребоваться использовать теорию линейных дифференциальных уравнений). Если у вас "математический" взгляд и бэкграунд, то можно открыть Арнольда "Математические методы классической механики", но если бэкграунда нет, не стоит - эта книга достаточно крута.

 Профиль  
                  
 
 Re: Осцилляторы на пружине. Подскажите литературу по материалу.
Сообщение09.10.2010, 15:35 


20/09/10
65
JustAMan
А можно написать задание дословно?

 Профиль  
                  
 
 Re: Осцилляторы на пружине. Подскажите литературу по материалу.
Сообщение09.10.2010, 15:47 


06/10/10
106
Аа.. вон оно как.. Если есть время, тогда я даже понимаю как пользоваться этой формулой :) Тогда другое дело.. Правда в Математике пока не получилось получить решение, но с ней нужно отдельно поразбираться.

А в моём случае получается, что: $w = \sqrt{-(k2+k1)/m}$
т.е. решение моего дифференциального уравнения будет: $A*cos(t * \sqrt{-(k2+k1)/m} + \varphi_0)$
Это похоже на правду или не очень?) Только не понятно в решении диф. уравнения, какой смысл вкладывается в переменные A и $\varphi_0$?

Flooder
Ну это и есть всё задание :) мне нужно получить решение дифферинциального уравнения описывающее модель вот такой системы (как Вы показали на картинке :) ).

 Профиль  
                  
 
 Re: Осцилляторы на пружине. Подскажите литературу по материалу.
Сообщение09.10.2010, 16:17 


20/09/10
65
JustAMan
Только без минуса:
$\[x(t) = A\cos \left( {\sqrt {\frac{{{k_1} + {k_2}}}
{m}} t + {\varphi _0}} \right)\]
$
Параметры $\[A\]
$ и $\[{{\varphi _0}}\]
$ — амплитуда и начальная фаза соответственно. По идее, их надо находить из начальных условий (в вашей задаче, наверное, подразумевается самостоятельное их задание).

 Профиль  
                  
 
 Re: Осцилляторы на пружине. Подскажите литературу по материалу.
Сообщение09.10.2010, 16:22 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


30/01/06
72407
Добавлю, что $A$ и $\varphi_0$ - не переменные, а константы, они от $t$ не зависят. Возникают они при решении дифференциального уравнения как константы интегрирования.

 Профиль  
                  
 
 Re: Осцилляторы на пружине. Подскажите литературу по материалу.
Сообщение09.10.2010, 17:09 


06/10/10
106
Спасибо большое вам за помощь в решении проблемы!

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 104 ]  На страницу 1, 2, 3, 4, 5 ... 7  След.

Модераторы: photon, whiterussian, profrotter, Jnrty, Aer, Парджеттер, Eule_A, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group