Осцилляторы на пружине. Подскажите литературу по материалу.

[JustAMan]

Требуется запрограммировать простейший случай шарика, удерживаемого двумя пружинами по бокам, которые закреплены к фиксированным поверхностям. У пружин определённая задаваемая жёсткость.

Копаюсь сейчас по материалам в поисковиках, найти, хотя бы, формулы для этой задачи. Различные случаи похожих задач я нахожу.. но может кто-то подскажет в какой литературе описывается мой случай? Наверняка это распространённая задача, возможно, и есть решение решение, не хотелось бы изобретать велосипед. Да я в дифурах и не очень силён, честно говоря :)

[caxap]

Второй закон Ньютона. А дифур может решить какой-нибудь матпакет (Mathematica, Maple, ...).

[JustAMan]

Спасибо!

Вот тут нашёл что-то похожее на свою проблему: http://www.ict.nsc.ru/ru/textbooks/akhm ... /m-15.html
$x''+(k/m)x=0;$
Кстати, обозначение х с двумя точками вверху, это вторая производная? :) (http://upload.wikimedia.org/math/d/b/1/ ... edda3e.png вот тут, например)

Здесь х, получается отражает нашу силу, действующую на шарик в горизонтальной плоскости?

И в данном уравнении получается, что обе пружины одинаковой жёсткости? А как-нибудь вот так:
$x''+(k_1/m)x+(k_2/m)x=0;$
можно расширить решение, чтобы оно учитывало жесткости обеих пружин?

[caxap]

JustAMan в сообщении #359665 писал(а):

Кстати, обозначение х с двумя точками вверху, это вторая производная?

Да

JustAMan в сообщении #359665 писал(а):

Здесь х, получается отражает нашу силу, действующую на шарик в горизонтальной плоскости?

$x$ -- это координата.

JustAMan в сообщении #359665 писал(а):

можно расширить решение, чтобы оно учитывало жесткости обеих пружин?

Вынесите $x$ за скобку.

[JustAMan]

Тут ещё небольшая проблемка нарисовалась.. У меня вторая производная этого выражения:
$x''+(k/m)x=0;$
$x''= - (k/m) * x;$
получается нулю равной) В чём тут подвох? Не пойму тогда как её использовать, если после подсчёта второй производной формула нулём получается) в какой же я икс-то подставлять координату шара тогда буду :)

-- Сб окт 09, 2010 02:02:17 --

Аа.. кажется начинает доходить) Я же производную по X считаю, а Х это же у нас теперь фиксированная координата.. А что же у нас тут, получается, переменной будет?) Масса - тоже константа, жёсткость - тоже вроде задаваемая константа.. всё константы, получаются)

[Flooder]

Получается, наверное так.

(0 - положение равновесия).

$\[m\ddot x = - {T_2} - {T_1} = - {k_2}x - {k_1}x = - ({k_2} + {k_1})x\] $
$\[\ddot x = \frac{{ - ({k_2} + {k_1})}} {m}x\] $

[JustAMan]

Flooder
Спасибо за наглядный пример!

А в таком случае в производной, переменной будет что считаться, $x$? При таком раскладе вторая производная получается нулю равной.. А как же использовать эту (последнюю) формулу? :)

У нас ведь после первой производной получится выражение:
$x' = (k1-k2)/m$
а со второй - производная от константы, ноль..

[Munin]

Производные берутся по времени, $t.$ Формулы представляют собой дифференциальные уравнения, их следует решать.

[JustAMan]

Munin в сообщении #360342 писал(а):

Производные берутся по времени, $t.$ Формулы представляют собой дифференциальные уравнения, их следует решать.

Ух блин.. тут походу я совсем встал в тупик. Так там ведь такой переменной как $t$ вообще нету..) Я решать пытаюсь их через пакет "Mathematica":

in: f := x * (-(k2+k1)/m)
in: D[f,{x,2}]
out: 0

а ответом получает ноль. Ну если и по t её брать - там ведь вся правая часть константой получается.. Подскажите чайнику, в какую сторону копать мне?

[Munin]

JustAMan в сообщении #360360 писал(а):

Munin в сообщении #360342 писал(а):

Производные берутся по времени, $t.$ Формулы представляют собой дифференциальные уравнения, их следует решать.

Ух блин.. тут походу я совсем встал в тупик. Так там ведь такой переменной как $t$ вообще нету..)

Есть, только её не принято явно выписывать, ради экономии места и большей прозрачности формул. У вас здесь есть единственная функция от времени - $x(t),$ все остальные буквы - константы. На эту функцию наложено обыкновенное дифференциальное уравнение второго порядка, линейное (точка сверху обозначает первую производную по $t,$ две точки - вторую). Для того, чтобы найти однозначное решение (движение системы), необходимо ещё задать какие-либо дополнительные условия, например, начальные ($x(0),$ $\dot{x}(0)$). Но чтобы проанализировать систему в общем виде, это не обязательно, а по одному уравнению можно найти общее решение (в вашем случае - параметризованное двумя действительными параметрами).

Именно вследствие решения такого дифференциального уравнения ($\ddot{x}+\omega^2x=0$) получится знакомая функция гармонического колебания $A\cos(\omega t+\varphi_0).$ Как получить такое решение в Mathematica - не знаю, не разбираюсь в этом пакете.

JustAMan в сообщении #360360 писал(а):

Подскажите чайнику, в какую сторону копать мне?

Даже не представляю, как-то слишком странно, чтобы вам задали такую задачу, не дав никаких начальных сведений. Всё это на уровне начальных глав учебников по механике (из курсов общей физики), плюс начальных сведений о дифференциальных уравнениях (хотя может потребоваться использовать теорию линейных дифференциальных уравнений). Если у вас "математический" взгляд и бэкграунд, то можно открыть Арнольда "Математические методы классической механики", но если бэкграунда нет, не стоит - эта книга достаточно крута.

[Flooder]

JustAMan
А можно написать задание дословно?

[JustAMan]

Аа.. вон оно как.. Если есть время, тогда я даже понимаю как пользоваться этой формулой :) Тогда другое дело.. Правда в Математике пока не получилось получить решение, но с ней нужно отдельно поразбираться.

А в моём случае получается, что: $w = \sqrt{-(k2+k1)/m}$
т.е. решение моего дифференциального уравнения будет: $A*cos(t * \sqrt{-(k2+k1)/m} + \varphi_0)$
Это похоже на правду или не очень?) Только не понятно в решении диф. уравнения, какой смысл вкладывается в переменные A и $\varphi_0$?

Flooder
Ну это и есть всё задание :) мне нужно получить решение дифферинциального уравнения описывающее модель вот такой системы (как Вы показали на картинке :) ).

[Flooder]

JustAMan
Только без минуса:
$\[x(t) = A\cos \left( {\sqrt {\frac{{{k_1} + {k_2}}} {m}} t + {\varphi _0}} \right)\] $
Параметры $\[A\] $ и $\[{{\varphi _0}}\] $ — амплитуда и начальная фаза соответственно. По идее, их надо находить из начальных условий (в вашей задаче, наверное, подразумевается самостоятельное их задание).

[Munin]

Добавлю, что $A$ и $\varphi_0$ - не переменные, а константы, они от $t$ не зависят. Возникают они при решении дифференциального уравнения как константы интегрирования.

[JustAMan]

Спасибо большое вам за помощь в решении проблемы!