Неравенства с модулями

[AKM]

Вы доказали вместо нестрого неравенства строгое.
Вас просили доказать, что "больше или равно", Вы доказали, что "всегда больше".
Всё. Задача решена.

По формулировке задачи Вас не просили "найти случаи, когда равно".
Ну, это если я правильно понял Ваши непонятки. До конца, признаюсь, не врубился.

[dnoskov]

Т.е. вообще-то я вижу, что $|3a-d^2|+|2a-4|+|a+5|\geqslant|6a+1-d^2|$, и что оно же:
$|3a-d^2|+|2a-4|+|a+5|\geqslant d^2$. Здесь противоречия нет...

Просто я не вижу каких-то других комбинаций знаков для подмодульных выражений в данном неравенстве, которые бы позволили утверждать, что данное неравенство именно не меньше $d^2$.

-- Вт окт 05, 2010 17:39:55 --

AKM
Ну, в смысле, зачем просить доказать, что выражение не меньше, если оно на самом деле строго больше? Я не помню со школы, этого достаточно? Я же всё-таки доказал, что выражение "больше", а не "больше или равно". Значит, по логике-то следует додоказать, что оно ещё и может быть равно. (и, пока писал, подумал, что, может быть, для этого надо делать какие-то предположения насчёт значений входящих в состав выражения переменных, потому что иначе никакого хода не вырисовывается. И поэтому, сделав такое предположение, получаем, что при $a=|\frac{1}{6}|$, получаем строгое равенство (т.е. это и есть та недостающая часть доказательства). Однако, т.к. задание гласит "Используя свойства модуля, докажите неравенство", то это автоматически у меня ассоциируется с "неотыскиванием" каких-либо значений каких-либо переменных. Кроме того, является ли доказательством приведение примера в данном случае?)

-- Вт окт 05, 2010 17:46:19 --

И ещё. То, что я доказал, это же не любой случай. Другой похожий случай говорит о том, что данное выражение может оказаться и меньше $d^2$, я говорю о $|3a-d^2|+|2a-4|+|a+5|\geqslant|6a+1-d^2|$, т.к., опять же, например при $a=d=6, |6a+1-d^2|< d^2$.

[AKM]

dnoskov в сообщении #359405 писал(а):

Ну, в смысле, зачем просить доказать, что выражение не меньше, если оно на самом деле строго больше?

Потому что Вы хотите купить товару на $d^2$ рублей, и берёте из кошелька $|3a-d^2|$, из тумбочки $|2a-4|$, и у соседа $|a+5|$. И Вам, естественно, надо, чтобы это было не меньше, чем $d^2$. Просите доказать. Вам говорят: "не боись, у тебя ещё сдача останется!"
И всё. Задача решена.

Мне почудилось, что Вы, доказав, что одно всегда больше другого, пытаетесь после этого найти случай, когда они равны. Какой алогизм! Зачем пытаться, когда уже известно, что такого не бывает?
Впрочем, оставляю возможность, что я, заглядывая сюда втихаря урывками, так и недопонял чего-то.

При каком это $d$ (при $a=\frac16$) Вы получили строгое равенство?

[dnoskov]

AKM

Цитата:

Зачем пытаться, когда уже известно, что такого не бывает?

Доказательство построено на том, что можно менять знак подмодульного выражения и никто ничего не заметит .
Однако, применяя такое вот свойство модуля: $|a+b+c|\leqslant |a|+|b|+|c|$, мы в одном случае получаем:
$|3a-d^2|+|2a-4|+|a+5|\geqslant |6a+1-d^2|\; ? \; d^2$, т.е. здесь мы, вообще говоря, можем получить соотношение, противоречащее исходному неравенству (значит такое бывает), а в другом случае:
$|3a-d^2|+|2a-4|+|a+5|=|d^2-3a|+|2a-4|+|a+5|\geqslant |d^2+1|>d^2$ получаем строгое неравенство.

-- Вт окт 05, 2010 18:53:30 --

Цитата:

При каком это $d$ (при $a=\frac16$) Вы получили строгое равенство?

т.е., пардон , не $\frac{1}{6}$, а $-\frac{1}{6}$ ($a=|\frac{1}{6}|$ - это я в попыхах написал), ну вот: $|3a-d^2|+|2a-4|+|a+5|\geqslant |6a+1-d^2|$, тогда, при $a=-\frac{1}{6}$, имеем $|6\cdot(-\frac{1}{6})+1-d^2|=d^2$ (я про это вот строгое равенство писал). Т.е. $|3a-d^2|+|2a-4|+|a+5|\geqslant d^2$ (при $a=-\frac{1}{6}$).

[gris]

А что Вас смущает?

$|3a-d^2|+|2a-4|+|a+5|\geqslant |6a+1-d^2|$
и
$|3a-d^2|+|2a-4|+|a+5|\geqslant |d^2+1|>d^2$

Оба этих неравенства верны.

Подставим Ваши $a=d=6$:

$18+8+11\geqslant 1$ и $18+8+11\geqslant 37$

Первое неравенство оказалось "слабее" второго, но они оба верны.

[AKM]

dnoskov в сообщении #359447 писал(а):

$|3a-d^2|+|2a-4|+|a+5|\geqslant |6a+1-d^2|$
$|3a-d^2|+|2a-4|+|a+5|>d^2$

Вы получили два различных верных неравенства.
Одно строгое, другое нестрогое.
Они никак не противоречат друг другу.
Вы можете получить ещё несколько, меняя знаки у других выражений.
Просто первое Вам, в свете конкретной задачи, неинтересно, а второе интересно.

[dnoskov]

gris

Цитата:

А что Вас смущает?

Меня смущает то, что те неравенства, к которым я пришёл, ни в совокупности, ни по-отдельности не доказывают полного исходного неравенства, т.е. не доказывают того, что $|3a-d^2|+|2a-4|+|a+5|\geqslant d^2$ (именно $\geqslant$). И то, что я никак не могу понять общего подхода к решению подобного рода задач. (Хотя, надо признать, что благодаря помощи сообщества, я уже значительно продвинулся в этом направлении)

[AKM]

Общий подход --- не забывать (ну просто чувствовать всегда), что $|x|=|{-}x|$, знать, что подёргав за знак одно из слагаемых мы рано или поздно придём к результату (Вам потому их дали всего три); попробовать посверлить слагаемые глазами, и сразу отыскать нужную комбинацию. Опыту набираться.
Так мне кажется.

[gris]

Тут интересно вот что, и я думаю, автор имел ввиду именно это:
Предположим, у нас есть выражение, состоящее из суммы $n$ модулей. Комбинируя знаки подмодульных выражений и используя неравенство между суммой модулей и модулем суммы, мы можем получить $2^n$ различных неравенств. Даже в два раза меньше.
Неравенство, в котором справа стоит максимальное выражение, будет самым сильным. Но оно может не реализоваться из-за того, что соответствующая комбинация не будет получена.
А вообще, у Вас кусочно-линейная непрерывная функция относительно $a$. Она может иметь (строгие хотя бы с одной стороны) экстремумы только в точках, где подмодульные выражения обращаются в 0.

Добавляю. Если доказано, что $x\geqslant 5$, то это автоматически влечёт и $x\geqslant 3$. Но в последнем неравенстве равенство никак не может быть достигнуто, увы.

[AKM]

dnoskov в сообщении #359456 писал(а):

Меня смущает то, что те неравенства, к которым я пришёл, ни в совокупности, ни по-отдельности не доказывают полного исходного неравенства, т.е. не доказывают того, что $|3a-d^2|+|2a-4|+|a+5|\geqslant d^2$

Повторяю: найденное Вами неравенство $|3a-d^2|+|2a-4|+|a+5|> d^2$ ПОЛНОСТЬЮ доказывает "ПОЛНОЕ" исходное неравенство.
(Да ещё, мимоходом, усиливает его, уточняет его).

[Alexey1]

Надо доказать неравенство $|3a-d^2|+|2a-4|+|a+5| \geq d^2$. По свойству модулей $|x|+|y|+|z| \geq |x+y+z|$. Возьмите $x=3a-d^2, y=2a-4, z=a+5$, тогда $|3a-d^2|+|2a-4|+|a+5| \geq |6a+1-d^2|=|d^2-(6a+1)|$. Теперь используйте свойство 5, то есть $|x-y| \geq |x|-|y|$, где $x=d^2, y=6a+1$ получаете $|d^2-(6a+1)| \geq |d^2|-|6a+1|$. Так как $a$ это коэффициент, то в общем случае (при любых $a$) $|d^2|-|6a+1| \geq |d^2|$.

[AKM]

dnoskov,
возможно, у Вас просто неправильная логика: "Зачем составитель, зная ответ $>$, пишет всё же ${}\ge ?$"
Да затем, что он, ставя задачу, умеет вести себя, как человек, не знающий ответ. Затем, что ответ в задаче "хватит ли у меня денег?" бывает и таким --- "хватит, и ещё НАВЕРНЯКА останется" (усиление неравенства). Затем, наконец, чтобы Вы почувствовали и осознали и этот момент.
Молодец он, составитель. Хороший нюансик вставил в задачку.

[dnoskov]

Alexey1

Цитата:

Так как $a$ это коэффициент, то в общем случае (при любых $a$) $|d^2|-|6a+1| \geqslant |d^2|$.

За гранью логики для меня. Как это $|d^2|\leqslant|d^2|-|6a+1|$ (и на основании чего, ведь $|d^2-(6a+1)| \geqslant |d^2|-|6a+1|$)? Ведь $|d^2|=|d^2|\geqslant 0$ и $|6a+1|\geqslant 0$

[AKM]

Здесь логика может быть такой: Alexey1 куда-то очень спешил и ошибся.

[dnoskov]

AKM
Да, действительно. Просто вне живой среды такие вещи в голову сами как-то сразу не приходят. Да и в учебнике к этому задачнику ничего ещё не было про усиление неравенств.

gris
Это интересно. Вот бы об этих нюансах ещё где-нибудь писали бы.