Неравенства с модулями

[dnoskov]

Товарищи, не могли бы вы мне объяснить, что значит вот такое задание:
"Используя свойства модуля, докажите неравенство:",
Если данные неравенства таковы:
а) $|x|+|3-x|\geqslant3$
б) $|f+3|+|f+5|\geqslant2$

С а) вроде всё ясно, хотя я не уверен:
$|x|+|3-x|\geqslant3\Rightarrow|3-x|\geqslant3-|x|\Rightarrow|3-x|\geqslant|3|-|x|$.
Это на основании того, что $|a-b|\geqslant|a|-|b|$

С б) - я понимаю, что сумма расстояний от произвольной точки $f$ до точек $-3$ и $-5$ не меньше 2, это очевидно, если представить расположение точки $f$ относительно точек $-3$ и $-5$ на числовой прямой. Однако, я почему-то не могу сообразить, какие из известных мне свойств модуля (а я так понимаю, что имеются в виду алгебраические свойства) здесь нужно применить. Мне известны вот такие свойства:

1. $|x|\geqslant0$
2. $|x|\geqslant x$
3. $|x+y|\leqslant|x|+|y|$
4. $|x|=|-x|$
5. $|x-y|\geqslant|x|-|y|$
6. $|xy|=|x|\cdot|y|$
7. $|\frac{x}{y}|=\frac{|x|}{|y|}$
8. $|x^2|=|x|^2=x^2$

Ну, и, конечно, очень смущает надпись "докажите"

[Alexey1]

Используйте третье свойство, то есть $|x+y| \leq |x|+|y|$, где $x=f+3, \ y=-f-5$.

[dnoskov]

Alexey1
т.е. раскрыть модули? А как сюда относится раскрытие модулей? Нужно же "доказать", а не "решить"....

Я пробовал это свойство не раскрывая модулей:
Преобразуем левую часть с учётом 3 св-ва:
$|f+3|+|f+5|\geqslant|f+3+f+5|\Rightarrow|f+3|+|f+5|\geqslant2|f+4|$ ,
... так что теперь, если доказать, что $2|f+4|\geqslant2$, то, наверное, это будет то что нужно? Я не знаю....
Но ведь это не так... В смысле $2|f+4| ? 2$... Мы не можем здесь ничего сказать (я не могу)

[venco]

Кстати, вот это:

dnoskov в сообщении #359227 писал(а):

С а) вроде всё ясно, хотя я не уверен:
$|x|+|3-x|\geqslant3\Rightarrow|3-x|\geqslant3-|x|\Rightarrow|3-x|\geqslant|3|-|x|$.
Это на основании того, что $|a-b|\geqslant|a|-|b|$

не доказательство, а тавтология.

[dnoskov]

Alexey1

Цитата:

где $x=f+3, \ y=-f-5$.

А почему $f+5<0$?

[venco]

dnoskov в сообщении #359242 писал(а):

Alexey1

Цитата:

где $x=f+3, \ y=-f-5$.

А почему $f+5<0$?

Кто Вам это сказал?

[dnoskov]

venco
Я догадывался...
Но мне не ясно что значит "доказать" в данном случае

А почему $f+5<0$?
Кто Вам это сказал?

Ну... $|f+5|=-(f+5)$, если $f+5<0$, по определению модуля. Разве не так?

[Alexey1]

Вам необходимо доказать, что $|f+3|+|f+5| \geq 2$. Вам дано неравенство $|x+y| \leq |x| + |y|, \ \forall x,y \in \mathbb R$. Пусть $x=f+3, y=-f-5$. Подставьте их в неравенство, что получается?

[venco]

dnoskov в сообщении #359245 писал(а):

Но мне не ясно что значит "доказать" в данном случае

Это значит из уже доказанного (свойства) получить заданные Вам неравенства.

dnoskov в сообщении #359245 писал(а):

Ну... $|f+5|=-(f+5)$, если $f+5<0$, по определению модуля. Разве не так?

Это высказывание верно, но почему Вы решили, что условие после "если" верно?

[dnoskov]

Alexey1
Да, получается исходное неравенство...

Но я не уясню хода мысли у меня получается примерно так:
Дано неравенство: $|f+3|+|f+5| \geqslant 2$
Оно похоже на свойство 3: $|x|+|y| \geqslant |x + y|, \ \forall x,y \in \mathbb R$ (я перевернул чтоб было удобнее)
Значит имеем следующее: $|f+3|+|f+5| \geqslant |2|\Rightarrow|f+3|+|f+5|\geqslant|f+3-f-5|$
Необходимое пояснение и одновременно вопрос: мы имеем такую правую часть просто потому что такая она подходит?
Я понимаю, что подошла бы и такая: $|-f-3+f+5|$

Т.е. правилен ли мой вывод, что на основании обозначенного 3-го св-ва мы можем делать вещи вроде:
$|a|+|b|\geqslant|a-b|$?

-- Вт окт 05, 2010 01:43:16 --

venco

Цитата:

Это значит из уже доказанного (свойства) получить заданные Вам неравенства.

Так. Ну, ясно. значит для а) вот так вот будет:
$|x|+|3-x|\geqslant3\Rightarrow|x|+|3-x|\geqslant|x+3-x|$. Вот и доказано. Да?
Т.е. ещё надо, наверное указать, на основании какого свойства, да?

Цитата:

но почему Вы решили, что условие после "если" верно?

Потому что по определению модуля:
Модулем положительного числа x называется само это число. $|x|=x$
Модулем отрицательного числа x называется число, противоположное x. $|x|=-x$

[Alexey1]

dnoskov в сообщении #359249 писал(а):

Т.е. правилен ли мой вывод, что на основании обозначенного 3-го св-ва мы можем делать вещи вроде:
$|a|+|b|\geqslant|a-b|$?

Правильно, $|x|+|y| \geq |x+y|$, отсюда $|a|+|b|=|a|+|-b| \geq |a+(-b)|=|a-b|$.

[dnoskov]

Alexey1
Ай-да модули. Вот спасибо. Сам бы ну ни в жисть...

И всё же. Выходит, что здесь фактически нужно было выразить правую часть через левую (или преобразовывать левую) так, чтобы в итоге получилось некое свойство из известных с поменяными членами (т.е. например в результате преобразований получили $|x|+|1|\geqslant|x+1|$ и всё, мы довольны и заканчиваем доказательство ибо нам известно такое-то свойство)?

Или само наличие неравенств в работе с модулями обусловлено спецификой как раз таки модулей, а в целом эти неравенства - это нечто вроде упрощения алгебраических выражений?
В таком случае надо, конечно, работать с левой частью до тех пор пока не будет ясно выполняется ли неравенство, да?



ЗЫ. Просто модули для меня - это новая тема. Когда я учился в школе о них мне было известно только то, что они $\geqslant0$.

[Alexey1]

Да, надо определить какими взять $x,y$, чтобы получить необходимое неравенство.

[dnoskov]

Alexey1
Даааа.... Теперь я, кажется, понимаю. Большое Вам спасибо.

Ну, держитесь, модули....

[dnoskov]

Теперь вот такой пример:
$|3a-d^2|+|2a-4|+|a+5|\geqslant d^2$

(Опять надо доказать неравенство)


И такой конфуз - решаем:
$|3a-d^2|+|2a-4|+|a+5|=|d^2-3a|+|2a-4|+|a+5|\geqslant|d^2-3a+3a+1|=|d^2+1|$
... замечательно, стало быть, т.к. $|d^2+1|>d^2$ (т.е. строго больше), то остаётся доказать, что данная сумма модулей может равняться $d^2$ и не может быть меньше, чем $d^2$. Путём применения того же самого свойства (3-го), имеем: $|3a-d^2|+|2a-4|+|a+5|\geqslant|3a-d^2+2a-4+a+5|=|6a+1-d^2|$. Вот тут уже непонятно, то ли свойство неверно, то ли я что-то не понимаю (это наиболее вероятно), ведь $|6a+1-d^2|\; ? \; d^2$... Вместе с тем, подставляя в исходное неравенство например $d=a=6$, получаем верное неравенство, а здесь $|1|\geqslant 36$...
Вобщем я запутался..

Помогите пожалуйста