2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


В этом разделе нельзя создавать новые темы.

Если Вы хотите задать новый вопрос, то не дописывайте его в существующую тему, а создайте новую в корневом разделе "Помогите решить/разобраться (М)".

Если Вы зададите новый вопрос в существующей теме, то в случае нарушения оформления или других правил форума Ваше сообщение и все ответы на него могут быть удалены без предупреждения.

Не ищите на этом форуме халяву, правила запрещают участникам публиковать готовые решения стандартных учебных задач. Автор вопроса обязан привести свои попытки решения и указать конкретные затруднения.

Обязательно просмотрите тему Правила данного раздела, иначе Ваша тема может быть удалена или перемещена в Карантин, а Вы так и не узнаете, почему.



Начать новую тему Ответить на тему На страницу 1, 2, 3  След.
 
 Неравенства с модулями
Сообщение04.10.2010, 22:36 


15/06/09
154
Самара
Товарищи, не могли бы вы мне объяснить, что значит вот такое задание:
"Используя свойства модуля, докажите неравенство:",
Если данные неравенства таковы:
а) $|x|+|3-x|\geqslant3$
б) $|f+3|+|f+5|\geqslant2$

С а) вроде всё ясно, хотя я не уверен:
$|x|+|3-x|\geqslant3\Rightarrow|3-x|\geqslant3-|x|\Rightarrow|3-x|\geqslant|3|-|x|$.
Это на основании того, что $|a-b|\geqslant|a|-|b|$

С б) - я понимаю, что сумма расстояний от произвольной точки $f$ до точек $-3$ и $-5$ не меньше 2, это очевидно, если представить расположение точки $f$ относительно точек $-3$ и $-5$ на числовой прямой. Однако, я почему-то не могу сообразить, какие из известных мне свойств модуля (а я так понимаю, что имеются в виду алгебраические свойства) здесь нужно применить. Мне известны вот такие свойства:

1. $|x|\geqslant0$
2. $|x|\geqslant x$
3. $|x+y|\leqslant|x|+|y|$
4. $|x|=|-x|$
5. $|x-y|\geqslant|x|-|y|$
6. $|xy|=|x|\cdot|y|$
7. $|\frac{x}{y}|=\frac{|x|}{|y|}$
8. $|x^2|=|x|^2=x^2$

Ну, и, конечно, очень смущает надпись "докажите"

 Профиль  
                  
 
 Re: Неравенства с модулями
Сообщение04.10.2010, 22:49 
Заслуженный участник


08/09/07
841
Используйте третье свойство, то есть $|x+y| \leq |x|+|y|$, где $x=f+3, \ y=-f-5$.

 Профиль  
                  
 
 Re: Неравенства с модулями
Сообщение04.10.2010, 23:08 


15/06/09
154
Самара
Alexey1
т.е. раскрыть модули? А как сюда относится раскрытие модулей? Нужно же "доказать", а не "решить"....

Я пробовал это свойство не раскрывая модулей:
Преобразуем левую часть с учётом 3 св-ва:
$|f+3|+|f+5|\geqslant|f+3+f+5|\Rightarrow|f+3|+|f+5|\geqslant2|f+4|$ ,
... так что теперь, если доказать, что $2|f+4|\geqslant2$, то, наверное, это будет то что нужно? Я не знаю....
Но ведь это не так... В смысле $2|f+4| ? 2$... Мы не можем здесь ничего сказать (я не могу)

 Профиль  
                  
 
 Re: Неравенства с модулями
Сообщение04.10.2010, 23:09 
Заслуженный участник


04/05/09
4587
Кстати, вот это:
dnoskov в сообщении #359227 писал(а):
С а) вроде всё ясно, хотя я не уверен:
$|x|+|3-x|\geqslant3\Rightarrow|3-x|\geqslant3-|x|\Rightarrow|3-x|\geqslant|3|-|x|$.
Это на основании того, что $|a-b|\geqslant|a|-|b|$
не доказательство, а тавтология.

 Профиль  
                  
 
 Re: Неравенства с модулями
Сообщение04.10.2010, 23:11 


15/06/09
154
Самара
Alexey1
Цитата:
где $x=f+3, \ y=-f-5$.

А почему $f+5<0$?

 Профиль  
                  
 
 Re: Неравенства с модулями
Сообщение04.10.2010, 23:13 
Заслуженный участник


04/05/09
4587
dnoskov в сообщении #359242 писал(а):
Alexey1
Цитата:
где $x=f+3, \ y=-f-5$.

А почему $f+5<0$?
Кто Вам это сказал?

 Профиль  
                  
 
 Re: Неравенства с модулями
Сообщение04.10.2010, 23:15 


15/06/09
154
Самара
venco
Я догадывался... :oops:
Но мне не ясно что значит "доказать" в данном случае

А почему $f+5<0$?
Кто Вам это сказал?

Ну... $|f+5|=-(f+5)$, если $f+5<0$, по определению модуля. Разве не так?

 Профиль  
                  
 
 Re: Неравенства с модулями
Сообщение04.10.2010, 23:17 
Заслуженный участник


08/09/07
841
Вам необходимо доказать, что $|f+3|+|f+5| \geq 2$. Вам дано неравенство $|x+y| \leq |x| + |y|, \ \forall x,y \in \mathbb R$. Пусть $x=f+3, y=-f-5$. Подставьте их в неравенство, что получается?

 Профиль  
                  
 
 Re: Неравенства с модулями
Сообщение04.10.2010, 23:19 
Заслуженный участник


04/05/09
4587
dnoskov в сообщении #359245 писал(а):
Но мне не ясно что значит "доказать" в данном случае
Это значит из уже доказанного (свойства) получить заданные Вам неравенства.

dnoskov в сообщении #359245 писал(а):
Ну... $|f+5|=-(f+5)$, если $f+5<0$, по определению модуля. Разве не так?
Это высказывание верно, но почему Вы решили, что условие после "если" верно?

 Профиль  
                  
 
 Re: Неравенства с модулями
Сообщение04.10.2010, 23:36 


15/06/09
154
Самара
Alexey1
Да, получается исходное неравенство...

Но я не уясню хода мысли у меня получается примерно так:
Дано неравенство: $|f+3|+|f+5| \geqslant 2$
Оно похоже на свойство 3: $|x|+|y| \geqslant |x + y|, \ \forall x,y \in \mathbb R$ (я перевернул чтоб было удобнее)
Значит имеем следующее: $|f+3|+|f+5| \geqslant |2|\Rightarrow|f+3|+|f+5|\geqslant|f+3-f-5|$
Необходимое пояснение и одновременно вопрос: мы имеем такую правую часть просто потому что такая она подходит?
Я понимаю, что подошла бы и такая: $|-f-3+f+5|$

Т.е. правилен ли мой вывод, что на основании обозначенного 3-го св-ва мы можем делать вещи вроде:
$|a|+|b|\geqslant|a-b|$?

-- Вт окт 05, 2010 01:43:16 --

venco
Цитата:
Это значит из уже доказанного (свойства) получить заданные Вам неравенства.


Так. Ну, ясно. значит для а) вот так вот будет:
$|x|+|3-x|\geqslant3\Rightarrow|x|+|3-x|\geqslant|x+3-x|$. Вот и доказано. Да?
Т.е. ещё надо, наверное указать, на основании какого свойства, да?

Цитата:
но почему Вы решили, что условие после "если" верно?


Потому что по определению модуля:
Модулем положительного числа x называется само это число. $|x|=x$
Модулем отрицательного числа x называется число, противоположное x. $|x|=-x$

 Профиль  
                  
 
 Re: Неравенства с модулями
Сообщение04.10.2010, 23:46 
Заслуженный участник


08/09/07
841
dnoskov в сообщении #359249 писал(а):
Т.е. правилен ли мой вывод, что на основании обозначенного 3-го св-ва мы можем делать вещи вроде:
$|a|+|b|\geqslant|a-b|$?
Правильно, $|x|+|y| \geq |x+y|$, отсюда $|a|+|b|=|a|+|-b| \geq |a+(-b)|=|a-b|$.

 Профиль  
                  
 
 Re: Неравенства с модулями
Сообщение05.10.2010, 00:03 


15/06/09
154
Самара
Alexey1
:shock: Ай-да модули. Вот спасибо. Сам бы ну ни в жисть...

И всё же. Выходит, что здесь фактически нужно было выразить правую часть через левую (или преобразовывать левую) так, чтобы в итоге получилось некое свойство из известных с поменяными членами (т.е. например в результате преобразований получили $|x|+|1|\geqslant|x+1|$ и всё, мы довольны и заканчиваем доказательство ибо нам известно такое-то свойство)?

Или само наличие неравенств в работе с модулями обусловлено спецификой как раз таки модулей, а в целом эти неравенства - это нечто вроде упрощения алгебраических выражений?
В таком случае надо, конечно, работать с левой частью до тех пор пока не будет ясно выполняется ли неравенство, да?



ЗЫ. Просто модули для меня - это новая тема. Когда я учился в школе о них мне было известно только то, что они $\geqslant0$.

 Профиль  
                  
 
 Re: Неравенства с модулями
Сообщение05.10.2010, 00:23 
Заслуженный участник


08/09/07
841
Да, надо определить какими взять $x,y$, чтобы получить необходимое неравенство.

 Профиль  
                  
 
 Re: Неравенства с модулями
Сообщение05.10.2010, 00:29 


15/06/09
154
Самара
Alexey1
Даааа.... Теперь я, кажется, понимаю. Большое Вам спасибо. :-)

Ну, держитесь, модули.... :twisted:

 Профиль  
                  
 
 ... и опять в луже
Сообщение05.10.2010, 15:15 


15/06/09
154
Самара
Теперь вот такой пример:
$|3a-d^2|+|2a-4|+|a+5|\geqslant d^2$

(Опять надо доказать неравенство)


И такой конфуз - решаем:
$|3a-d^2|+|2a-4|+|a+5|=|d^2-3a|+|2a-4|+|a+5|\geqslant|d^2-3a+3a+1|=|d^2+1|$
... замечательно, стало быть, т.к. $|d^2+1|>d^2$ (т.е. строго больше), то остаётся доказать, что данная сумма модулей может равняться $d^2$ и не может быть меньше, чем $d^2$. Путём применения того же самого свойства (3-го), имеем: $|3a-d^2|+|2a-4|+|a+5|\geqslant|3a-d^2+2a-4+a+5|=|6a+1-d^2|$. Вот тут уже непонятно, то ли свойство неверно, то ли я что-то не понимаю (это наиболее вероятно), ведь $|6a+1-d^2|\; ? \; d^2$... Вместе с тем, подставляя в исходное неравенство например $d=a=6$, получаем верное неравенство, а здесь $|1|\geqslant 36$...
Вобщем я запутался..

Помогите пожалуйста

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 44 ]  На страницу 1, 2, 3  След.

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group