Случайные величины, распределение Пуассона

[Alexey1]

integral2009 в сообщении #358884 писал(а):

Дело в том, что мне не понятно -- что значит обозначение $Poi(\lambda_1)$

Обозначение $\xi \sim Poi(\lambda)$ означает, что случайная величина $\xi$ имеет распределение Пуассона с параметром $\lambda$, то есть $P(\xi=k)=\frac{\lambda^k}{k!}e^{-\lambda}, \ k \geq 0$.

[integral2009]

Alexey1 в сообщении #358888 писал(а):

Обозначение $\xi \sim Poi(\lambda)$ означает, что случайная величина $\xi$ имеет распределение Пуассона с параметром $\lambda$, то есть $P(\xi=k)=\frac{\lambda^k}{k!}e^{-\lambda}, \ k \geq 0$.

СпасибО! По-моему понял) Вот так?!

$M\chi=\sum\limits_{k=1}^{5}{p_k\chi_k$

$$P(\xi_1+\xi_2=k)=\sum_{n=0}^{k}P(\xi_1=k-n)P(\xi_2=n)=\sum_{n=0}^{k}\dfrac{\lambda_1^k}{k!}e^{-\lambda_1}\cdot \dfrac{\lambda_2^{k-n}}{(k-n)!}e^{-\lambda_2}=\sum_{n=0}^{k}\dfrac{\lambda_1^k}{k!}\cdot\dfrac{\lambda_2^{k-n}}{(k-n)!}e^{-(\lambda_1+\lambda_2)}$$

[Alexey1]

integral2009 в сообщении #358899 писал(а):

$M\chi=\sum\limits_{k=1}^{5}{p_k\chi_k$

$$P(\xi_1+\xi_2=k)=\sum_{n=0}^{k}P(\xi_1=k-n)P(\xi_2=n)=\sum_{n=0}^{k}\dfrac{\lambda_1^k}{k!}e^{-\lambda_1}\cdot \dfrac{\lambda_2^{k-n}}{(k-n)!}e^{-\lambda_2}$$

Правильно, теперь упростите сумму используя биномиальную теорему $(a+b)^n=\sum_{k=0}^{n}C_k^n a^{n-k} b^{k}$.

[integral2009]

А ведь в числителе для этого не хватает $n!$

[Alexey1]

integral2009 в сообщении #358903 писал(а):

А ведь в числителе для этого не хватает $n!$

Что можно сделать, чтобы $k!$ появилось в числителе (суммирование в формуле которую я привёл и суммирование в Вашей формуле различаются по переменным суммирования)?

[integral2009]

Да, точно нужно выражение под знаком суммы умножить на $\dfrac{(k!)^2}{n!}$

$$P(\xi_1+\xi_2=k)=\sum_{n=0}^{k}P(\xi_1=k-n)P(\xi_2=n)=\sum_{n=0}^{k}\dfrac{\lambda_1^k}{k!}\cdot\dfrac{\lambda_2^{k-n}}{(k-n)!}e^{-(\lambda_1+\lambda_2)}=\sum_{n=0}^{k}\dfrac{(k!)^2}{n!}\cdot C_k^n e^{-(\lambda_1+\lambda_2)}$$

[Alexey1]

И кстати у Вас там путаница. Должно быть
$P(\xi_1+\xi_2=k)=\sum_{n=0}^{k}P(\xi_1=k-n)P(\xi_2=n)=$
$\sum_{n=0}^{k}\dfrac{\lambda_1^{k-n}}{(k-n)!}e^{-\lambda_1} \cdot \dfrac{\lambda_2^n}{n!}e^{-\lambda_2}$

[integral2009]

Есть вот такая идея
$P(\xi_1+\xi_2=k)=\sum_{n=0}^{k}P(\xi_1=k-n)P(\xi_2=n)=$
$\sum_{n=0}^{k}\dfrac{\lambda_1^{k-n}}{(k-n)!}e^{-\lambda_1} \cdot \dfrac{\lambda_2^n}{n!}e^{-\lambda_2}=\sum_{n=0}^{k}\dfrac{C_k^n}{k!}e^{-\lambda_2-\lambda_1}$

[Alexey1]

integral2009 в сообщении #358908 писал(а):

Есть вот такая идея
$P(\xi_1+\xi_2=k)=\sum_{n=0}^{k}P(\xi_1=k-n)P(\xi_2=n)=$
$\sum_{n=0}^{k}\dfrac{\lambda_2^{k-n}}{(k-n)!}e^{-\lambda_1} \cdot \dfrac{\lambda_1^n}{n!}e^{-\lambda_2}=\sum_{n=0}^{k}\dfrac{C_k^n}{k!}e^{-\lambda_2-\lambda_2}$

Нет, этого не надо. Добавляйте $k!$ в числитель и знаменатель того выражения которое я привёл, и затем используйте биномиальную теорему.

[integral2009]

Хорошо!
$P(\xi_1+\xi_2=k)=\sum_{n=0}^{k}P(\xi_1=k-n)P(\xi_2=n)=$
$\sum_{n=0}^{k}\dfrac{\lambda_1^{k-n}}{(k-n)!}e^{-\lambda_1} \cdot \dfrac{\lambda_2^n}{n!}e^{-\lambda_2}=\sum_{n=0}^{k}\dfrac{k!\lambda_1^{k-n}}{k!(k-n)!}e^{-\lambda_1} \cdot \dfrac{\lambda_2^n}{n!}e^{-\lambda_2}=\sum_{n=0}^{k}\dfrac{\lambda_1^{k-n}\cdot \lambda_2^n\cdot C_k^n}{k!}e^{-\lambda_1}e^{-\lambda_2}$

-- Пн окт 04, 2010 02:48:54 --

$k!$ в знаменателе мешает применить теорему(

[Alexey1]

integral2009 в сообщении #358910 писал(а):

$k!$ в знаменателе мешает применить теорему(

Ничего не мешает. Это константа, так как суммирование идёт по $n$. И Вы перепутали, должно быть $C_n^k$.

[integral2009]

Точно, по $k$ нет суммирования!Я перегруппировал слагаемые, получается $C_k^n$

$P(\xi_1+\xi_2=k)=\sum_{n=0}^{k}P(\xi_1=k-n)P(\xi_2=n)=$
$\sum_{n=0}^{k}\dfrac{\lambda_1^{k-n}}{(k-n)!}e^{-\lambda_1} \cdot \dfrac{\lambda_2^n}{n!}e^{-\lambda_2}=\sum_{n=0}^{k}\dfrac{k!\lambda_1^{k-n}}{k!(k-n)!}e^{-\lambda_1} \cdot \dfrac{\lambda_2^n}{n!}e^{-\lambda_2}=\sum_{n=0}^{k}\dfrac{\lambda_1^{k-n}\cdot \lambda_2^n}{k!}\dfrac{k!}{n!(k-n)!}e^{-\lambda_1}e^{-\lambda_2}$

[integral2009]

(Оффтоп)

случайно продублировалось!

[Alexey1]

И чему равняется эта сумма?

[integral2009]

В итоге!

$P(\xi_1+\xi_2=k)=\sum_{n=0}^{k}\dfrac{\lambda_1^{k-n}\cdot \lambda_2^n}{k!}\dfrac{k!}{n!(k-n)!}e^{-\lambda_1}e^{-\lambda_2}=\dfrac{(\lambda_1+\lambda_2)^k}{k!}e^{-\lambda_1}e^{-\lambda_2}$