Числовой ряд

[ИСН]

Заведите себе отдельную тему.

[Pixar]

$f(0) + f'(0)x + \frac{f''(0)x^2}{2} + \frac{f'''(0)x^3}{6} + \frac{f^{(4)}(0)x^4}{4!} + \frac{f^{(5)}(0)x^5}{5!} + \frac{f^{(6)}(0)x^6}{6!} + \frac{f^{(7)}(0)x^7}{7!} + \frac{f^{(8)}(0)x^8}{8!} = $

$= \frac{x^5 - x^4}{n} + \frac{-x^7 - x^5}{n} + \frac{x^9 - x^6}{n} + \frac{-x^{11} - x^7}{n} + \frac{x^{13} - x^8}{n} + \frac{-x^{15} - x^9}{n} + \frac{x^{17} - x^{10}}{n} + \frac{-x^{19} - x^{11}}{n} + \frac{x^{21} - x^{12}}{n}$

$\frac{f^{(8)}(0)x^8}{8!} = \frac{x^{21} - x^{12}}{n} ?$

[ИСН]

Ещё шаг назад. Во-первых, Вы забываете многоточия. Во-вторых, что такое $n$?
В-третьих, напишите сначала простую вещь: $\ln(1-x)=?$

[Pixar]

ИСН в сообщении #358768 писал(а):

Ещё шаг назад. Во-первых, Вы забываете многоточия. Во-вторых, что такое $n$?
В-третьих, напишите сначала простую вещь: $\ln(1-x)=?$

Тогда так:
$f(0) + f'(0)x + \frac{f''(0)x^2}{2} + \frac{f'''(0)x^3}{6} + \frac{f^{(4)}(0)x^4}{4!} + \frac{f^{(5)}(0)x^5}{5!} + \frac{f^{(6)}(0)x^6}{6!} + \frac{f^{(7)}(0)x^7}{7!} + \frac{f^{(8)}(0)x^8}{8!} + ... = $

$= \frac{x^5 - x^4}{1} + \frac{-x^7 - x^5}{2} + \frac{x^9 - x^6}{3} + \frac{-x^{11} - x^7}{4} + \frac{x^{13} - x^8}{5} + \frac{-x^{15} - x^9}{6} + \frac{x^{17} - x^{10}}{7} + \frac{-x^{19} - x^{11}}{8} + \frac{x^{21} - x^{12}}{9} + ...$

$\frac{f^{(8)}(0)x^8}{8!} = \frac{x^{21} - x^{12}}{9}$

====
$ln(1 - x) = -x - \frac{x^2}{2} - \frac{x^3}{3} - \frac{x^4}{4} - \frac{x^5}{5} - \frac{x^6}{6} - \frac{x^7}{7} - \frac{x^8}{8} - \frac{x^9}{9} - ...$

[ИСН]

Ага, спасибо. Теперь: вот Вы приравняли девятое слагаемое в левой сумме к девятому слагаемому в правой сумме. Почему? Потому что девятое? Это теперь закон такой? А если мы запишем правую сумму чуть-чуть иначе, а именно $\frac{x^5}{1} + \frac{-x^4}{1} + \frac{-x^7}{2} + \frac{-x^5}{2}$ и так далее? Тогда как быть?

[Pixar]

ИСН в сообщении #358783 писал(а):

Ага, спасибо. Теперь: вот Вы приравняли девятое слагаемое в левой сумме к девятому слагаемому в правой сумме. Почему? Потому что девятое? Это теперь закон такой? А если мы запишем правую сумму чуть-чуть иначе, а именно $\frac{x^5}{1} + \frac{-x^4}{1} + \frac{-x^7}{2} + \frac{-x^5}{2}$ и так далее? Тогда как быть?

Не уверен, но может тогда надо искать одинаковую степень над $x$.

[ИСН]

Вооот!

[Pixar]

ИСН в сообщении #358788 писал(а):

Вооот!

Теперь осталось понять, почему это "действительно" так. А то, что я предложил было лишь попыткой усмотреть хоть какую-то связь между левым и правым =). А какая на самом деле связь в подборе этой степени? Что происходит?

[ИСН]

Ну если Вас попросят решить квадратное уравнение, Вы же сразу поймёте, кто тут $a,\,b,\,c$? Если, положим, уравнение было записано в виде $x^2-x+1-x=0$, Вы же не скажете "так, всё понятно, $a=1$, $b=-1$, $c=1-x$, щас подставим в формулу"?
Вот это из той же оперы.

[Pixar]

ИСН в сообщении #358801 писал(а):

Ну если Вас попросят решить квадратное уравнение, Вы же сразу поймёте, кто тут $a,\,b,\,c$? Если, положим, уравнение было записано в виде $x^2-x+1-x=0$, Вы же не скажете "так, всё понятно, $a=1$, $b=-1$, $c=1-x$, щас подставим в формулу"?
Вот это из той же оперы.

Отлично, это я понял. Теперь ещё вопрос. Как быть с производными порядка меньше 4-х? В разложении их нет вообще.

[ИСН]

Нет? Совсем-совсем? Вы посмотрите получше, может, там несколько маленьких ноликов в угол закатились?

[Pixar]

ИСН в сообщении #358810 писал(а):

Нет? Совсем-совсем? Вы посмотрите получше, может, там несколько маленьких ноликов в угол закатились?

Выходит, что все они равны 0?

[ИСН]

Выходит так. Это вообще довольно обычное дело, если функция содержит множитель $x^3$.

[Pixar]

ИСН в сообщении #358823 писал(а):

Выходит так. Это вообще довольно обычное дело, если функция содержит множитель $x^3$.

Как мне это тяжело даётся... =)

Ладно, спасибо за ликбез. Я тогда ещё пару примеров здесь решу, а там уже пойму, куда идти дальше...