Комплексная плоскость и RxR

[paha]

Замечу, что дискуссию подогревает именно некорректная постановка

как уже было сказано "у всех разные телепатические способности"...

Как спросил классик устами своего героя: чем ворон отличается от конторки?

[Виктор Викторов]

ewert в сообщении #358186 писал(а):

VoloCh в сообщении #358141 писал(а):

Теорема. ${\mathbb R}^2$ не тоже самое, что ${\mathbb C}$.
Доказательство. От Противного. Если бы было то же самое, то они имели бы одинаковую размерность (максимально возможное количество линейно независиых векторов). Но в первом случае это 2, а во втором 1. Уходи, Противный!

Мимо кассы. Если ${\mathbb C}$ сравнивается именно с ${\mathbb R}^2$, то ${\mathbb C}$ -- тоже двумерно.

Это не "мимо кассы". Это троллинг.

[paha]

(Оффтоп)

Виктор Викторов в сообщении #358271 писал(а):

Это не "мимо кассы". Это троллинг.

это не троллинг:)

Афтар в wiki писал(а):

Главной целью троллинга является внесение разлада в общество каким-либо образом. Подстрекательское, саркастическое, провокационное или юмористическое содержание сообщений тролля направлено на то, чтобы склонить других пользователей к вовлечению в бесполезную конфронтацию. Чем более бурно реагирует общество, тем вероятнее дальнейший троллинг со стороны инициатора, поскольку это утверждает его уверенность в том, что определённые действия достигают его цели вызвать хаос. Так родилась часто употребляемая в интернет-культуре фраза: «Не кормите троллей».

Каюсь, подкармливаю

[VoloCh]

Виктор Викторов в сообщении #357498 писал(а):

В чем различие между комплексной плоскостью и $\mathbb{R} \times \mathbb{R}$? Ответ мне известен, но из пяти студентов знал только один. Я подумал, может быть, и посетителям нашего Форума будет интересно подумать об этом?

Это глупость

[Виктор Викторов]

AD в сообщении #358181 писал(а):

Такого рода постановки странны тем, что предполагает у студентов наличие не только математической подготовки, но и серьёзных телепатических навыков. Задавать такие вопросы на экзамене по математике, imho, нельзя вообще. То есть совсем нельзя.

Почему сразу экзамен? Не было никакого экзамена. Разговор шёл о геометрической интерпретации. Налево ${\mathbb R}^2$ и направо ${\mathbb R}^2$. И тут и там определено сложение векторов. Попробовали в комплексном пространстве перемножать скалярно. Получилось «маловысокохудожественно». Нельзя? А что можно и нужно? Вот в чем дело в первом случае в ${\mathbb R}^2$ определено полновесное умножение векторов, а во втором скалярное произведение (отсюда по Фрейду и моя оговорка в названии темы и первом комментарии). Кстати, мне не понятен пафос paha, с которым он разоблачает меня в различиях между произведением векторов в комплексном пространстве и скалярном произведении в евклидовом пространстве. Этот вопрос постоянно обсуждается в формате векторное произведение и скалярное произведение. Причем, пару раз я сталкивался с вопросом, а почему нельзя объявить скалярное произведение вектором (например, скалярное произведение первая координата, а остальные нули). Пришлось объяснять, что нет ассоциативности, а вне ассоциативности нет жизни даже на Марсе.
На самом деле, если говорить о векторном пространстве и вводить в нем комплексное произведение, то возникает одна тонкость. В векторном произведении уже введено умножение на скаляр (в данном случае (и это существенно) на вещественный скаляр). Поэтому-то и проще и чище вводить комплексное произведение на парах вещественных чисел. Но беды большой нет. Умножение на скаляр – частный случай комплексного произведения векторов.

[paha]

Виктор Викторов в сообщении #358279 писал(а):

Попробовали в комплексном пространстве перемножать скалярно

Скалярное произведение (евклидова структура) в $\mathbb{C}$ получается так: $(w,z)={\rm Re}(w\bar{z})$

Виктор Викторов в сообщении #358279 писал(а):

вне ассоциативности нет жизни даже на Марсе

есть алгебра Октав... и она вполне земная

Виктор Викторов в сообщении #358279 писал(а):

если говорить о векторном пространстве и вводить в нем комплексное произведение

под "комплексным произведением" в векторном пространстве $V$ Вы понимаете соответствие $x,y\mapsto z$ ($x,y,z\in V$) в случае $V\simeq \mathbb{R}^2$? (ЭТО ВОПРОС)

[Виктор Викторов]

paha в сообщении #358299 писал(а):

Виктор Викторов в сообщении #358279 писал(а):

Попробовали в комплексном пространстве перемножать скалярно

Скалярное произведение (евклидова структура) в $\mathbb{C}$ получается так: $(w,z)={\rm Re}(w\bar{z})$

Я ещё раз объясняю: сравнивали яблоки с яблоками. В евклидовом пространстве делается так-то, а точно также в комплексном пространстве можно? Ах, нет. А, что можно и нужно? Задача определить скалярное произведение (евклидову структуру) в $\mathbb{C}$ не ставилась. Мне кажется, что указать на подобное различие интересно и важно. У меня есть набор вопросов-ловушек для различных уровней, помогающих понять сущность некоторых понятий.

paha в сообщении #358299 писал(а):

Виктор Викторов в сообщении #358279 писал(а):

вне ассоциативности нет жизни даже на Марсе

есть алгебра Октав... и она вполне земная

Опять. Я Вам про Фому, а Вы мне упорно доказываете, что Вы знающий человек. Я это знаю. По-моему, чтобы объяснить почему нельзя объявлять вектором скалярное произведение "Марса" достаточно.

paha в сообщении #358299 писал(а):

Виктор Викторов в сообщении #358279 писал(а):

если говорить о векторном пространстве и вводить в нем комплексное произведение

под "комплексным произведением" в векторном пространстве $V$ Вы понимаете соответствие $x,y\mapsto z$ ($x,y,z\in V$) в случае $V\simeq \mathbb{R}^2$? (ЭТО ВОПРОС)

Вам не кажется, что это уже обсуждалось?

Виктор Викторов в сообщении #357845 писал(а):

Рассмотрим $\mathbb{R} \times \mathbb{R}$. Если определить умножение по правилу $(x_1, y_1)\cdot(x_2, y_2)=(x_1x_2-y_1y_2, x_1y_2+x_2y_1)$, то получается комплексная плоскость.

(Оффтоп)

Зачем же Вы тролля кормите?

[AD]

terminator-II в сообщении #358185 писал(а):

телепатом студент быть не обязан, а знать, что в линейном пространтсве $(\mathbb{R}^2)$ умножения векторов нет (по определению), а в $\mathbb{C}$ есть (по определению) обязан, и что с этим умножением оно превращается в поле.

Знать обязан, а угадывать, что у него спрашивают именно это [в условиях такой размытой формулировки] -
Ладно, мы вроде друг друга поняли.

Виктор Викторов в сообщении #358279 писал(а):

Почему сразу экзамен? Не было никакого экзамена.

Ну тогда ой (:

-- Сб окт 02, 2010 17:40:43 --

Короче, перенёс в дискуссионные темы, ибо совершенно не понятно, кто тут кому помогает разобраться.

[Виктор Викторов]

AD в сообщении #358324 писал(а):

terminator-II в сообщении #358185 писал(а):

телепатом студент быть не обязан, а знать, что в линейном пространтсве $(\mathbb{R}^2)$ умножения векторов нет (по определению), а в $\mathbb{C}$ есть (по определению) обязан, и что с этим умножением оно превращается в поле.

Знать обязан, а угадывать, что у него спрашивают именно это [в условиях такой размытой формулировки] -
Ладно, мы вроде друг друга поняли.

Первоначальная формулировка была безобразной. Присоединяюсь к протестующим.

(Оффтоп)

AD в сообщении #358324 писал(а):

Виктор Викторов в сообщении #358279 писал(а):

Почему сразу экзамен? Не было никакого экзамена.

Ну тогда ой (:

Расскажу старую байку. Почему нельзя делить на ноль? Ответ: а как пиццу разделить на ноль едоков? Реакция: а на одну треть пиццу делить можно? Ответ: Вы фокусник? Получить из одной пиццы три? Реакция: а теперь попробуйте поделить эти три пиццы на отрицательное количество едоков!

AD в сообщении #358324 писал(а):

Короче, перенёс в дискуссионные темы, ибо совершенно не понятно, кто тут кому помогает разобраться.

Давно пора!

[VoloCh]

Виктор Викторов в сообщении #358307 писал(а):

У меня есть набор вопросов-ловушек для различных уровней, помогающих понять сущность некоторых понятий.

Надеюсь, мы не будем знакомиться с эти набором.

[ewert]

Виктор Викторов в сообщении #358307 писал(а):

У меня есть набор вопросов-ловушек для различных уровней, помогающих понять сущность некоторых понятий.

Ну, вот эта конкретно "ловушка" оказалась явно неудачной, только и всего. Непонятно, за что тут холиварствовать.

А насчёт ловушек -- могу Вам подкинуть другую идейку. А вот давайте-ка определим на Эр-квадрат произведение векторов тупо как покомпонентное. Это действительно будет "на" (в отличие от скалярных или там векторных), и получится воистину алгебра (и ассоциативная, и коммутативная). Тогда вопрос на засыпку: а чем это всё-таки нехорошо?...

Мне кажется этот вопрос куда более полезным.

(тем более, что такая операция на практике вполне даже используется -- в том же Матлабе, скажем)

[Виктор Викторов]

ewert в сообщении #358400 писал(а):

Виктор Викторов в сообщении #358307 писал(а):

У меня есть набор вопросов-ловушек для различных уровней, помогающих понять сущность некоторых понятий.

Ну, вот эта конкретно "ловушка" оказалась явно неудачной, только и всего.

У меня другое мнение, но, как известно, сколько людей -- столько и мнений.

ewert в сообщении #358400 писал(а):

Непонятно, за что тут холиварствовать.

Лингвистический вопрос: Что такое "холиварствовать"? Вопрос снят. Дошло. Это "Holly War".

ewert в сообщении #358400 писал(а):

А насчёт ловушек -- могу Вам подкинуть другую идейку. А вот давайте-ка определим на Эр-квадрат произведение векторов тупо как покомпонентное. Это действительно будет "на" (в отличие от скалярных или там векторных), и получится воистину алгебра (и ассоциативная, и коммутативная). Тогда вопрос на засыпку: а чем это всё-таки нехорошо?...

Сходу мне не нравится, тот факт, что произведение взаимно перпендикулярных векторов равно нулю тогда и только тогда, когда вектора принадлежат взаимно перпендикулярным осям. А поворачивать систему координат как будем?

[ewert]

Виктор Викторов в сообщении #358415 писал(а):

А поворачивать систему координат как будем?

а никак, наше дело маленькое -- заявить алгебру, а повороты -- зачем они, повороты-то?...

[Виктор Викторов]

ewert в сообщении #358400 писал(а):

А насчёт ловушек -- могу Вам подкинуть другую идейку. А вот давайте-ка определим на Эр-квадрат произведение векторов тупо как покомпонентное. Это действительно будет "на" (в отличие от скалярных или там векторных), и получится воистину алгебра (и ассоциативная, и коммутативная). Тогда вопрос на засыпку: а чем это всё-таки нехорошо?...

Виктор Викторов в сообщении #358415 писал(а):

Сходу мне не нравится, тот факт, что произведение взаимно перпендикулярных векторов равно нулю тогда и только тогда, когда вектора принадлежат взаимно перпендикулярным осям.

Вторая мелкая неприятность, которую я вижу, несогласованность с умножением на скаляр. Я об этом уже писал по аналогичному поводу:

Виктор Викторов в сообщении #358279 писал(а):

На самом деле, если говорить о векторном пространстве и вводить в нем комплексное произведение, то возникает одна тонкость. В векторном произведении уже введено умножение на скаляр (в данном случае (и это существенно) на вещественный скаляр). Поэтому-то и проще и чище вводить комплексное произведение на парах вещественных чисел. Но беды большой нет. Умножение на скаляр – частный случай комплексного произведения векторов.

В Вашем умножении частный случай повздорил с общим случаем.
С одной стороны $(x_1, 0)(x_2, y_2)=(x_1x_2, 0)$, а с другой $(x_1, 0)(x_2, y_2)=(x_1x_2, x_1y_2)$.

[Xaositect]

Тут просто вложение $\mathbb{R}$ другое. $(x_1,x_1)(x_2,y_2) = x_1 (x_2,y_2)$