Маленькие вопросы про булеан

[caxap]

Даже жалко отдельную тему создавать для таких маленьких вопросов, ну да ладно.

1) Почему множество всех подмножеств $\mathcal P(A)$ множества $A$ называют булеаном? В смысле, откуда такое слово пошло. Этимология интересует.
2) Видел, что $\mathcal P(A)$ обозначают как $2^{A}$. В книге Верещагин, Шень "Начала теории множеств" под $A^B$ понимается множество всех функций из $B$ на $A$. Когда вместо $A$ или $B$ в предыдущем обозначении стоят "числа", типа $2$, то под этим "числом" понимается любое множество мощности $2$ (напр. $\{0,1\}$). Что нужно понимать под обозначением $2^A$

-- множество всех функций из $A$ на (какое-то) множество из двух элементов;

-- множество всех подмножеств множества $A$?

Всё же множество функций и множество всех подмножеств разные вещи. (Хотя между ними можно установить биекцию; но её можно установить и между $\mathbb N$ и $\mathbb Q$, а эти множества считаются разными.)

[gris]

Слово булеан происходит от слово "булева функция", что в свою очередь названо по фамилии английского математика 19 века Джоджа Буля (George Boole).
Каждое подмножество можно однозначно определить с помощью характеристической функции на элементах исходного множества, которая принимает значение 0, если элемент не принадлежит подмножеству, и 1, если принадлежит. 1 и 0 можно понимать и как Истина и Ложь.

С точки зрения теории множеств множества натуральных чисел и рациональных чисел одинаковы по мощности. Различия появляются, когда мы на множествах вводим какие-то структуры - топологические, алгебраические и проч.

[caxap]

gris
Спасибо. Я, пися пиша когда писал второй вопрос, уже догадывался, что "булеан" связан с множеством $2$.
Но я так и не понял, почему для двух разных множеств применяется одно обозначение $2^A$. (И это в таком строгом разделе математики, как теория множеств.)

[mkot]

Цитата:

Но я так и не понял, почему для двух разных множеств применяется одно обозначение $2^A$.

Я только выскажу предположение. По-моему по тому, что соответствие между ними естественное. Так же как, например, вещественные числа считают подмножеством множества комплексных чисел, хотя на самом деле это не так. (По крайней мере в конструкции через пары чисел.) (пример, не удачный, но лучше в голову не лезет.)

[caxap]

(Рус. яз.)

caxap в сообщении #358233 писал(а):

Я, пися пиша

писав!

[gris]

Наверное потому, что эти множества не только равны по мощности, но и имеют одинаковую природу.
Ведь мы считаем множество натуральных чисел подмножеством рациональных, хотя формально рациональное число 2/1 и натуральное 2 это разные объекты. Но подмножество рациональных чисел вида n/1 не только равномощно множеству натуральных чисел, но и эквивалентно ему в отношениях, не рассматриваемых в теории множеств.
Так и тут. Множество булевых функций и множество всех подмножеств не просто равномощны, но и имеют гораздо более тесную взаимосвязь. Поэтому и вполне естественно их обозначить одним обозначением, точно также как буквой N мы обозначаем и множество натуральных чисел и множество действительных чисел, которые соответствуют натуральным по соображениям более высокого порядка.

Вот! Мне двачует mkot! Я не идиодинок!

[caxap]

Ясно. Спасибо всем.

[Joker_vD]

(Оффтоп)

Есть замечательная книга Александрова, Маркушевича, Хинчина "Энциклопедия элементарной математики" в 5-и томах. В первом томе есть построения множеств натуральных, целых, рациональных, вещественных и комплексных чисел и, кажется, кватернионов. Так вот, там после построения множества пар, проведения факторизации как надо и введения операций делается следующее: подмножество, изоморфное исходному, заменяется на исходное и переопределются операции.

То есть, в таком варианте $\mathbb N \subset \mathbb Q$ в самом что ни на есть прямом теоретико-множественном смысле, без всяких умалчиваемых отождествлений.