Равенство трапеций по четырём сторонам

[Sasha2]

В задачнике дана задача:
Доказать равенство трапеции по ее четырем сторонам.
Почему то кажется, что это неверно из-за шарнирности.
Даже два ромба со всеми 4 равными сторонами могут быть равными, ну а трапеции и подавно.
Хотя в принципе достаточно и ромба, как частный случай трапеции.

[gris]

Вот давний разговор. Во многих учебниках под трапецией понимается четырёхугольник только с одной парой параллельных сторон. В этом случае шарниры не сработают.

[Sasha2]

Видите ли в чем дело, это, конечно вопрос разночтений.
Но даже если подходить тут самым жестким образом, понимая под трапецией четырехугольник с двумя параллельными сторонами и с двумя непараллельными сторонами, то даже в этом случае действуем следующим образом.
Берем одно из основания и проводим окружности с центрами в концах этого основания и с радиусами, равными боковым сторонам.
Эти окружности и есть геометрические места концов вторых оснований. Осталось на этих окружностях найти пары точек расстояния между которыми равно длине второго основания и так, чтобы отрезки, соединяющие эти пары точек были параллельны первому основанию.
Эта задача очень хорошо и подробно разобрана в первом томе Яглом "Геометрические преобразования", задача №1 на стр. 20, разбор задачи на стр. 139.
Показывается, что данная задача может иметь одно, два, три и четыре решения или ни одного решения.
То есть случай уже трех и четырех решений (лежащих очевидно в верхних и нижних полуокружностях) наталкивает на мысль, что даже равенство решений тут не сработает (высоты уже точно будут различны).

[gris]

Кстати, можно попытаться запараллелить другую пару сторон. Я над этим не думал, пытался представить, но никак. Сейчас попробую начертить что-то.
Может быть, построю контрпример?
Равенство, естественно, с точностью до поворотов и отражений?

[Sasha2]

Интересно еще и то, что решение приводится (в задачнике) следующее: (цитирую дословно).
Через точки B и B' проводим прямые BE и B'E', параллельные CD и C'D' соответственно.
Тогда треугольники ABE и A'B'E' равны, а значит равны углы A и A'. Вот и все авторское решение.
(Автор Пржевальский, Собрание геометрических теорем и задач, задача № 126, стр. 12).

[gris]

Если пара параллельных сторон фиксирована, то да. Тут только отражения.
А вот если параллельной станет другая пара?

[Sasha2]

Ваш вопрос эквивалентен следующей задаче № 2.156 из заданика Гордина:

Существуют ли две трапеции, основания первой из
которых соответственно равны боковым сторонам второй, а основания второй боковым сторонам первой?

Автор дает ответ: НЕТ.

Но все же пока непонятно как доказать равенство трапеций по четырем сторонам.

-- Пт сен 24, 2010 23:06:36 --

А вообще, если приглядеться повнимательней, действительно этот параллельный перенос срабатывает, получаем два трегольника, равных по трем сторонам AB=A'B', BE=B'E' и AE=A'E', так как AE=AD-BC и A'E'=A'D'-B'C'.

[gris]

Ну да. Там получается параллелограмм, а на самом деле жёсткий треугольник, который держит всю конструкцию. Если в терминах шарнирной фигуры рассматривать.

[Sasha2]

Наверно отсюда и построение трапеции по 4 сторонам возможно и проводится оно легко, главное углы при одном основании определить, а дпльше уже дело техники.

[gris]

А вот если стороны можно задавать вперемешку? То есть одно основание останется основанием, а другое станет боковой стороной?

[Sasha2]

Вот основная идея тут состоит в том, что в любой трапеции разность оснований больше разности боковых сторон.
Поэтому замена оснований на бока невозможна, а вот если стороны менять вперемешку, то так вот с ходу не получается применить это свойство.

[gris]

Вот пример: прямоугольная трапеция с основаниями 7 и 4, боковами сторонами 4 и 5. То есть (7;4;4;5) и
равнобокая трапеция с основаниями 7 и 5, боковами сторонами 4 и 5. То есть (7;4;5;4). Они не равны, конечно.

Вообще, Ваша тема очень интересна и вполне может быть дискуссионной. Вместе с темой о построении треугольников.
Я бы сказал, что речь идёт о некотором наборе условий, однозначно определяющих фигуру. У треугольников это три стороны, две стороны и угол между ними и так далее. Интересно было бы одно из условий сформулировать не в терминах равенства ряда параметров каким-то значениям, а в виде некоторой связи между параметрами.
Что Вы, собственно, и делаете. Оказалось, что задание 4-х длин сторон трапеции в указанном порядке однозначно определяет её (или говорит о несуществовании или вырожденности), а без указания порядка не определяет. В общем, трапецевидность четырёхугольника можно описать через связь его внутренних углов. Например, что ровно две непересекающиеся пары углов в сумме дают 180 градусов. Ну и тому подобное.
Было бы интересно, какие ещё условия в добавлению к равенству сторон однозначно определяют четырёхугольник.

[Sasha2]

Тогда меня тоже интересует ответ на такой вопрос:
Как правильно сформулировать задачу о равенстве трапеций по четырем сторонам.
Ведь из Вашего рассмотрения следует, что просто сказать, что две трапеции, имеющие по 4 равных стороны, неправильно.
Ну а если добавить к этому равенство оснований или боковых сторон, то это тривиализует задачу.
Грубо говоря, что нужно добавить, чтобы задача была правильной и еще нетривиальной.

[gris]

Может быть - любая трапеция однозначно задаётся циклической последовательностью длин сторон.
Или: Если стороны одной трапеции соответственно равны сторонам другой. Соответственно - значит учитывается порядок сторон. В треугольниках-то это неважно.

[Sasha2]

Пожалуй действительно самым оптимальным вариантом является порядок обхода контура обеих трапеций.