Поточечно-непрерывная деформация измеримой функции

[AD]

Задачка, которую мы все вместе придумали (а я сформулировал) в теме "Измеримые множества", оказалась не такой уж и сложной. Сам я ее так и не решил - мне её ответили на другом форуме - поэтому остаётся в качестве утешения предложить её здесь.

AD в сообщении #353720 писал(а):

$f:[0,1]^2\to\mathbb{R}$ (т.е. всюду определена), $\forall x\in[0,1]$ $f(\cdot,x)\in C[0,1]$, $\forall t\in[0,1]$ $f(t,\cdot)$ измерима. Можно ли утверждать, что измерима функция $g(x)=\min\limits_{t\in[0,1]}f(t,x)$?

В качестве бонусного трэка: Можно ли утверждать, что в этих условиях $f(t,x)$ будет измерима на $[0,1]^2$?

[Null]

Я правильно понял что она непрерывна по t и измерима по x?

[AD]

Ну да. Непрерывно меняется по $t$ при любом фиксированном $x$ и измерима по $x$ в любой момент времени $t$.

[AD]

Ладно, даю две подсказки в стиле научного секретаря нашей кафедры.

Первая подсказка: Это простая задачка.
Вторая подсказка: Это очень простая задачка.

Не, серьёзно. Я не хочу, чтобы кто-то еще пережил такой :facepalm:, который достался мне, когда я прочитал решение.

[Padawan]

$g(x)=\inf\limits_{t\in[0,1]\cap\mathbb Q} f(t,x)$

[AD]

Одни участник спасён от одного facepalm'а. Остался только бонусный трек

[AD]

(Решение бонусного трека)

AD в сообщении #354547 писал(а):

В качестве бонусного трэка: Можно ли утверждать, что в этих условиях $f(t,x)$ будет измерима на $[0,1]^2$?

$$f(t,x)=\lim_{n\to\infty}f\left(\tfrac{\lfloor nt\rfloor}{n},x\right)$$