для разминки

[парарам]

Паук соединил связной паутиной все 8 вершин пустого куба с ребром 1.5м. Могла ли длина его паутины быть меньше 10 м.

Для чисел a>0 b>0 доказать неравенство:
A^2/b+b^2/2006 ≥4 (a-2006)
При каких a b получим равенство?

[незваный гость]

Неравенство сводится к Коши-Буняковского. Равенство достигается, когда $a=8024$, $b=4012$

Добавлено спустя 28 минут 56 секунд:


Может. Этот злобный арахнид разделил большую диагональ на 3 части, и соединил точки деления с ближайшими вершинами. $\frac32\sqrt3 + 3\sqrt6 < 10$, это доказывать не буду, увольте.

[ИСН]

Мой может и ещё меньше. Убрали бы эти дурацкие полтора, ей-богу, ведь куда приятнее обсуждать куб единичного размера.

[Руст]

Интересно узнать, как ешё можно уменьшить.

[ИСН]

Как? Да расщепить все точки, в которых сходится более трёх нитей.

[Руст]

Конкретнее можно. Скажем указать координаты узлов. У "незваного гостя" узлы $\frac 13 (1,1,1), \ \frac 23 (1,1,1)$ для куба все вершины которых имеют координаты из нулей и единиц.

[ИСН]

Ой, они такие корявые, все эти координаты, что мне и писать-то их противно.
Upd. К чёрту всё! Начал писать, сбился, правлю в шестой раз, но идея, надеюсь, понятна?
Ну, короче, берём точку $(x,y,{1\over 2})$ ($x$ и $y$ - что-то довольно маленькое, вроде $1\over 4\sqrt{3}$ и $1\over 4$, соответственно, но в общем чёрт их разберёт, эти проклятые корни, в глазах рябит уже) и связываем с ней две ближайшие к ней вершины. Потом симметрично берём ещё три точки - $(1-x,y,{1\over 2})$, $(x,1-y,{1\over 2})$ и $(1-x,1-y,{1\over 2})$, и на них попарно вешаем остальные вершины. Осталось связать эти четыре. Две подвязываем к новой узловой точке $({1\over 2\sqrt{3}},{1\over 2}, {1\over 2})$, две - к $(1-{1\over 2\sqrt{3}},{1\over 2}, {1\over 2})$, а те уж соединяем напрямую.
Главное, чтобы в каждой узловой точке сходилось три линии под углами в 120°.

[незваный гость]

Ладно, будем писать просто. Координаты узлов (для единичного куба): $(\frac12,\frac12,\frac{1}{\sqrt{30}})$, $(\frac12,\frac12,1-\frac{1}{\sqrt{30}})$. Опять соединяем с ближайшими четырьмя вершинами. Ответ (для единичного куба же): $1+\sqrt{30} < \sqrt{3}+2\sqrt{6}< \frac{20}{3}$.

[juna]

Все это похоже на мыльные пленки
см. лекцию Сосинского Сингулярные мыльные пленки

[незваный гость]

Еще один вариант, в стиле ИСН:
Имеем 4 узла одного стиля, 2 узла 2-го. Координаты первых: пусть $x = \frac14, y = \frac1{4\sqrt3}$, тогда $(x,y,\frac12)$,$(1-x,y,\frac12)$,$(x,1-y,\frac12)$,$(1-x,1-y,\frac12)$. Очевидно, что они образуют прямоугольник. Координаты второго уровня выбираем, чтобы минимизировать этот прямоугольник: $(\frac12,\frac1{2\sqrt3},\frac12)$ и $(\frac12,1 - \frac1{2\sqrt3},\frac12)$. Итого длина $1+3\sqrt3$. Правда, все еще больше $6$. Но уже меньше $6\frac14$.

P.S. Расчет двухстадийный, сначала решается задача об оптимальном соединении прямоугольника узлов первого уровня (с параметром), потом об оптимальной паутине. Во второй части узлы второго уровня явно не участвуют, и я мог провраться в их координатах.

[Руст]

Оптимальное расположение для бинарного дерева (метод ИСН) удовлетворяет системе уравнений:

$$15x^2=y^2+\frac 14, \ 8ayx[(a-x)^2+(y-\frac 12 )^2]=2y(x-2ay)^2, \ (a-x)^2[3x^2+4ayx-4a^2y^2]=(y+\frac 12 )^2(x-2ay)^2.$$

Cooтветственно длина паутины вычисляется по формуле:
$8\sqrt{x^2+y^2+\frac 14 }+1-2a+2\sqrt{(a-x)^2+(y-\frac 12 )^2}.$
Только для получения оптимального значения не решил систему, которую можно решить и численно.

[незваный гость]

Интересно, что такое $x$, $y$ и $a$ в этих уравнениях. Еще более интересно, как доказывается, что это наилучший результат.

Я попробовал покатать Ваше решение в Mathematica, и ответ меня озадачил: все длины получились заметно больше продемонстрированного мной $1+3\sqrt3$.

[Руст]

Я тогда ввёл лишнее слагаемое. Хотя это я заметил на следующий день, но не стал исправлять, считая, что задача уже решена вами. Оптимальным получается $x=a=\frac{1}{30}, y=\frac 12 $, т.е. приведённое вами решение с двумя узлами (a,0.5,0.5) и (1-a,0.5,0.5). Т.е. нельзя уменьшить длину, по сравнению с $s=1+\sqrt{30}.$

[Sasha2]

А у меня в связи с этим такой вопрос, а как вообще решаются такие вот задачи:
Дано n точек (то есть заданы все их координаты), нужно соединить их отрезками так, чтобы результирующая ломаная имела наименьшую (наибольшую) длину.
Хотелось бы узнать вооще из какой оперы задачи такого типа: то есть это обычный минимум-максимум из дифференциального исчисления, может быть вариационное исчисление, или эе тупой перебор.
Прошу прощения за возможную глупость, но вопрос задаю от нехватки образования.

[незваный гость]

Я встречал такие задачи в вычислительной геометрии.