Так Вы минус впарили без всяких на то оснований! Чисто оттого, что считали кривизну безусловно положительной. Продолжая Ваши выкладки, никаких минусов не должно возникнуть. (Равно как и проезжая мимо станции, у меня не может слететь шляпа).
-- 19 сен 2010, 00:44 --Откуда этот минус?
Что значит "позволив кривизне быть отрицательной"? Она у Вас (на рисунке) просто отрицательна, не спрашивая никаких позволений.
-- 19 сен 2010, 00:46 --
-- 19 сен 2010, 01:29 --Это все на уровне -- отрицательное число
заменить на
или наоборот.
Нет, уровень выше. Тот факт, что по натуральному уравнению (
) можно восстановить кривую, часто трактуется как
основная теорема дифференциальной геометрии (простите отсутствие ссылок). Если мы будем пренебрегать знаком (соответственно, запрещать кривые с, например, натуральным уравнением
, в пользу
), мы эту роскошную теорему потеряем. Так, спираль Корню
и кривая
будут по натуральному уравнению неразличимы, основная теорема провалится. Ну и там всякие неаналитичности возникнут, в которых вы (все) получше меня разбираетесь...
Зачем нам всё это? Зачем отбрасывать естественный знак кривизны ("отклоняюсь вправо, отклоняюсь влево") и потом мучиться с перебором разных вариантов?
![$$\begin{gathered}
\frac{{d\tau \left( s \right)}}
{{ds}} = \frac{{y_{xx}^{''}}}
{{1 + {{\left( {y_x^'} \right)}^2}}}\frac{{dx}}
{{ds}} = \frac{{y_{xx}^{''}}}
{{{{\left[ {1 + {{\left( {y_x^'} \right)}^2}} \right]}^{3/2}}}}{\color{blue}=k(x(s))\quad\text{типа я добавил...}} \hfill \\
\tau \left( s \right) = - \int\limits_0^s {k\left( \sigma \right)d\sigma } = - \int\limits_0^s {\frac{1}
{{R\left( \sigma \right)}}d\sigma } \hfill \\
\end{gathered} $$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/1/f/8/1f80232f8e3bf6177af853aa8232ae4d82.png "$$\begin{gathered}
\frac{{d\tau \left( s \right)}}
{{ds}} = \frac{{y_{xx}^{''}}}
{{1 + {{\left( {y_x^'} \right)}^2}}}\frac{{dx}}
{{ds}} = \frac{{y_{xx}^{''}}}
{{{{\left[ {1 + {{\left( {y_x^'} \right)}^2}} \right]}^{3/2}}}}{\color{blue}=k(x(s))\quad\text{типа я добавил...}} \hfill \\
\tau \left( s \right) = - \int\limits_0^s {k\left( \sigma \right)d\sigma } = - \int\limits_0^s {\frac{1}
{{R\left( \sigma \right)}}d\sigma } \hfill \\
\end{gathered} $$")
