Найти коэффициенты Ламе

[ShMaxG]

Алексей К. в сообщении #353773 писал(а):

Ну это-то вроде просто (только мне привычнее кривизна $k(s)$, равная $\pm\frac1{R(s)}$):Hack attempt!Подозреваю, однако, что Вам это иpвестно, и я просто не так понял вопрос...

А тут случаем нет ошибки? Я так понимаю, что $\tau (s)$ - угол, которая составляет касательная к кривой ("в точке" $s$) с осью икс? И поэтому$ \[\frac{{dy}} {{dx}} = \operatorname{tg} \tau \left( s \right)\] $? Но это противоречит выражению для $\tau (s)$

[Алексей К.]

Да, и здесь ошибка! Простите. $[x(s)+\mathrm{i}y(s)]'\equiv z'(s)=e^{\mathrm{i}\tau(s)}$. Поправлю и в оригинале.

[ShMaxG]

(Удалено.)

[EtCetera]

ShMaxG

ShMaxG в сообщении #353820 писал(а):

Алексей К. в сообщении #353773 писал(а):

Ну это-то вроде просто (только мне привычнее кривизна $k(s)$, равная $\pm\frac1{R(s)}$):Hack attempt!Подозреваю, однако, что Вам это иpвестно, и я просто не так понял вопрос...

А тут случаем нет ошибки? Я так понимаю, что $\tau (s)$ - угол, которая составляет касательная к кривой ("в точке" $s$) с осью икс? И поэтому$ \[\frac{{dy}} {{dx}} = \operatorname{tg} \tau \left( s \right)\] $? Но это противоречит выражению для $\tau (s)$

Где ошибка? И почему противоречит?
Из формулы Алексей К.:
$\tau_s'=k(s)$
Из свойства производной:
$\tau_s'=(\arctg y_x')_s'=\dfrac{\dfrac{y_{x^2}''}{1+y_x'^2}}{\sqrt{1+y_x'^2}}=\dfrac{y_{x^2}''}{\left(1+y_x'^2\right)^{\frac{3}{2}}}=k(s)$
Вроде сходится (с точностью до некоторых дополнительных слов)...
upd: Пока писал, Вы и сами догадались...

Алексей К.
Я кстати понял, почему у Вас нет $\pm$. Он просто "запрятан" в

Алексей К. в сообщении #353773 писал(а):

кривизна $k(s)$, равная $\pm\frac1{R(s)}$

[ShMaxG]

EtCetera в сообщении #353836 писал(а):

$\tau_s'=(\arctg y_x')_s'=\dfrac{\dfrac{y_{x^2}''}{1+y_x'^2}}{\sqrt{1+y_x'^2}}=\dfrac{y_{x^2}''}{\left(1+y_x'^2\right)^{\frac{3}{2}}}=k(s)$

Вот тут ошибка в вычислении производной. Дело в том, что $ \[\frac{{dx}} {{ds}} = \sin \tau \left( s \right) = \frac{{y'}} {{\sqrt {1 + y{'^2}} }}\] $, а не$ \[\frac{1} {{\sqrt {1 + y{'^2}} }}\]$. Поэтому там не синус должен быть, а косинус. Ну, собственно, чисто геометрически формулы для икса и игрека получаются.

[EtCetera]

ShMaxG

ShMaxG в сообщении #353837 писал(а):

Дело в том, что $ \[\frac{{dx}}{{ds}} = \sin \tau \left( s \right) = \frac{{y'}}{{\sqrt {1 + y'^2}} }}\]$, а не$ \[\frac{1}{{\sqrt {1 + y{'^2}} }}\]$.

Почему?

ShMaxG в сообщении #353837 писал(а):

Поэтому там не синус должен быть, а косинус.

Под "там" Вы имеете в виду

Алексей К. в сообщении #353773 писал(а):

Hack attempt!

Вроде как тут и вправду очепятка (косинус с синусом перепутаны или $y$ с $x$). Либо же под $\tau$ понимается не $\arctg y_x'$, а что-то другое, но близкое.
upd: Ага, Алексей К. поправился (а я сначала и не заметил):

Алексей К. в сообщении #353773 писал(а):

Hack attempt!

Т.е. все в порядке.
И, пожалуйста, объясните, откуда берется $C_2$. $C_1$ я еще как-то могу переварить (хоть оно там и даром не нужно), но $C_2$...

[ShMaxG]

Воот. А теперь я сам постараюсь добить способ, который предложил Алексей К..
Итак, в случае $\[y_{xx}^{''} < 0\]$ на всем участке задания кривой (этот случай соотв. рисунку к задаче, хотя от него он зависеть не должен). В этом случае главная нормаль $\[{\text{n}} = \left( \begin{gathered} \sin \tau \left( s \right) \\ - \cos \tau \left( s \right) \\ \end{gathered} \right)\]$.

Вспоминаем формулу (касающуюся случая $\[y_{xx}^{''} < 0\]$), которую я приводил выше:$\[{H_s} = \left| {\frac{{\partial {\text{r}}}} {{\partial s}} - n\frac{{\partial {\text{n}}}} {{\partial s}}} \right|\]$ (здесь $n>0$ и точка $M$ находится слева от кривой).

Тогда с учетом того, что $\[\tau \left( s \right) = - \int\limits_0^s {k\left( \sigma \right)d\sigma } \] $ получаем:

$\[{H_s} = \left| {\frac{{\partial {\text{r}}}} {{\partial s}} - n\frac{{\partial {\text{n}}}} {{\partial s}}} \right| = \left| {\left( \begin{gathered} \cos \tau \left( s \right) \hfill \\ \sin \tau \left( s \right) \hfill \\ \end{gathered} \right) - n\left( \begin{gathered} \frac{{d\tau }} {{ds}} \cdot \cos \tau \left( s \right) \hfill \\ \frac{{d\tau }} {{ds}} \cdot \sin \tau \left( s \right) \hfill \\ \end{gathered} \right)} \right| = \left| {\left( \begin{gathered} \cos \tau \left( s \right) \hfill \\ \sin \tau \left( s \right) \hfill \\ \end{gathered} \right) - n\left( \begin{gathered} - k\left( s \right) \cdot \cos \tau \left( s \right) \hfill \\ - k\left( s \right) \cdot \sin \tau \left( s \right) \hfill \\ \end{gathered} \right)} \right| = \left| {\left( \begin{gathered} \cos \tau \left( s \right) \hfill \\ \sin \tau \left( s \right) \hfill \\ \end{gathered} \right)\left( {1 + \frac{n} {{R\left( s \right)}}} \right)} \right| = \left| {1 + \frac{n} {{R\left( s \right)}}} \right|\]$

Если точка $M$ находится справа от кривой, то $\[{H_s} = \left| {1 - \frac{n} {{R\left( s \right)}}} \right|\]$. Но чтобы никакой зависимости от точек не было, можно просто принять возможность числа $n$ быть отрицательным (да и нулевым). Так что генерально, ответ для этого случая: $\[{H_s} = \left| {1 + \frac{n} {{R\left( s \right)}}} \right|\]$

[Алексей К.]

EtCetera в сообщении #353836 писал(а):

Алексей К.
Я кстати понял, почему у Вас нет $\pm$. Он просто "запрятан" в

Алексей К. в сообщении #353773 писал(а):

кривизна $k(s)$, равная $\pm\frac1{R(s)}$

Нет. Не поэтому. У меня нет $\pm$ потому, что я не проникся геометрическим смыслом этих коэффициентов, а попавшиеся мне формальные определения были сформулированы для $H_i^2$.

Тот плюс-минус, из $\pm\frac1{R(s)}$, на мой взгляд не мог повлиять на плюс-минус в модуле. Никак не мог. Это что-то другое. По моему глубочайшему убеждению, определение $R(s)=1/|k(s)|$ не стоит привлекать. Важно то, что $k(s)=\tau'(s)$. И с этим всё всегда получается. Без путаницы. Чем отнимать естественный знак у кривизны (это довольно часто делается по каким-то устаревшим традициям), лучше уж приписать соотв. знак радиусу.

Просто надо понять смысл знака в этих самых коэффициентах $H_i$. Может, он нигде и не работает? Мною пока не понято.

[ShMaxG]

EtCetera в сообщении #353850 писал(а):

И, пожалуйста, объясните, откуда берется $C_2$. $C_1$ я еще как-то могу переварить (хоть оно там и даром не нужно), но $C_2$...

Забудьте об этом, это я в ошибочную сторону жахнул . Ужинать уже пора...

[Алексей К.]

А про эти $C_{1,2}$ --- да, тут похоже надо поправить ShMaxG. Но я убегаю, не прочитав последней беседы.

[ShMaxG]

На всякий случай уточню, что при выводе я учитывал, что кривизна и радиус могут быть только положительными (иначе я бы запутался). Тогда производная тау равна минус кривизне (в случае $\[y_{xx}^{''} < 0\]$):

$\[\begin{gathered} \frac{{dy}} {{dx}} = \frac{{dy/ds}} {{dx/ds}} = \frac{{\sin \tau \left( s \right)}} {{\cos \tau \left( s \right)}} = \operatorname{tg} \tau \left( s \right) \Rightarrow y_{xx}^{''} = \frac{{d\tau \left( s \right)}} {{dx}}\frac{1} {{{{\cos }^2}\tau \left( s \right)}} = \frac{{d\tau \left( s \right)}} {{ds}}\frac{{ds}} {{dx}}\left( {1 + {{\left( {y_x^'} \right)}^2}} \right) \Rightarrow \hfill \\ \frac{{d\tau \left( s \right)}} {{ds}} = \frac{{y_{xx}^{''}}} {{1 + {{\left( {y_x^'} \right)}^2}}}\frac{{dx}} {{ds}} = \frac{{y_{xx}^{''}}} {{{{\left[ {1 + {{\left( {y_x^'} \right)}^2}} \right]}^{3/2}}}} \hfill \\ \tau \left( s \right) = - \int\limits_0^s {k\left( \sigma \right)d\sigma } = - \int\limits_0^s {\frac{1} {{R\left( \sigma \right)}}d\sigma } \hfill \\ \end{gathered} \]$

[Алексей К.]

ShMaxG в сообщении #353858 писал(а):

На всякий случай уточню, что при выводе я учитывал, что кривизна и радиус могут быть только положительными (иначе я бы запутался).

В рассматриваемой Вами задаче вряд ли можно игнорировать ориентацию кривой. Обычно она естественно определяется возрастанием параметра. Вы в первом посте задали ориентацию, обозвав кривую $OC$ (а не $CO$). Нарисованная Вами кривая $OC$ --- отрицательной кривизны: наклон касательной уменьшается, $\dfrac{d\tau}{ds}<0$. Всюду отрицательной: перегибов нет. Между тем, перегибы ничуть не помешали бы построению "естественной" (по Вашей версии) криволинейной системы координат, если бы Вы отталкавались, например, от синусоиды.

Путаница возникает, когда определение $k(s)=\dfrac{d\tau}{ds}$ подменяют определением $k(s)=\left|\dfrac{d\tau}{ds}\right|$ (вариант: $k(x)=\left|\dfrac{y''}{\left(1+{y'}^2\right)^{3/2}}\right|$ и многие другие, аналогичные). Это устоявшаяся традиция и, на мой взгляд (простого инженера) очень плохая и вредная.

(Оффтоп)

Из-за Вашего

ShMaxG в сообщении #353858 писал(а):

$\tau \left( s \right) = {\color{magenta}-} \int\limits_0^s {k\left( \sigma \right)d\sigma } = \ldots$

я буду сегодня плохо спать.

[ShMaxG]

Ну формально-то ошибки нет?

[Алексей К.]

Конечно, найду! Или сегодня же, или поспамши. (До сих пор не замечал за собой столь самоуверенных заявлений).

[ShMaxG]

Алексей К. в сообщении #353910 писал(а):

Конечно, найду!

Ну откуда она возьмется, если, позволив кривизне быть отрицательной, мой ответ перейдет в Ваш? И все выкладки будут Вашими? Да и ответ совпадает с другим. Это все на уровне -- отрицательное число $a$ заменить на $-|a|$ или наоборот.