Найти коэффициенты Ламе

[ShMaxG]

Есть такая задача.

Естественная система криволинейных координат, связанная с плоской кривой $OC$, заданной своим радиусом кривизны $R(s)=O'N$ как функция длины дуги $s$. Положение точки $M$ на плоскости определяется длиной нормали $MN=n$ к контуру $OC$, проходящей через точку $M$ и длиной дуги $ON=s$, отсчитываемой от некоторой точки $O$ контура до основания нормали $N$. Угол $MNC$ -- прямой. Найти коэффициенты Ламе $H_s$ и $H_n$.

Очевидно, по условию, такая система координат -- ортогональная. Коэффициенты Ламе определяются отсюда: $\[d{S^2} = H_s^2d{s^2} + H_n^2d{n^2}\]$. А если задать прямоугольную систему координат и как-то получить связь $x=x(s,n)$ и $y=y(s,n)$, то эти коэффициенты можно получить из формул: $\[{H_s} = \left| {\frac{{\partial {\text{r}}}} {{\partial s}}} \right|; \, {H_n} = \left| {\frac{{\partial {\text{r}}}} {{\partial n}}} \right|\] $

Достаточно ясно, что $H_n = 1$. Вопрос в $H_s$. Ведь при фиксировании $n$ и изменении $s$ центр кривизны как-то смещается, и не могу сообразить, как в этом случае находить $dS$.



-- Пт сен 17, 2010 21:48:09 --

Сообразил такую формулу: $\[dS = ds\left| {\frac{{d{\text{r}}}} {{ds}} \pm n\frac{{d{\text{n}}}} {{ds}}} \right|\] $. Здесь плюс или минус зависит от расположения точки относительно кривой, $\[{\text{n}}\]$ -- единичный вектор главной нормали. Можно ли как-то это все закрутить с радиусом кривизны?

[ShMaxG]

Вот если бы можно было зная радиус кривизны $R(s)$ найти задание этой кривой через (хоть как введенную) декартову систему координат... В этом случае векторы под модулем мгновенно вычисляются и я счастлив.

-- Пт сен 17, 2010 22:12:38 --

Алексей К., где же Вы

[EtCetera]

Вообще, неплохо бы уточнить, каким образом выбирается направление оси $NM$...
Впрочем, интуитивно достаточно очевидно, что $H_s=\left|1\pm\dfrac{n}{R}\right|$. Это следует из подобия "треугольников" $\triangle O'N(s)N(s+ds)$ и $\triangle O'M(s,n)M(s+ds,n)$ (конечно, $O'(s)$ и $O'(s+ds)$ - разные точки, но... интуицию не обманешь ).
Пусть кривая $OC$ задается уравнением $y=y(x)$. Тогда система
$\left\{\begin{array}{l}\tilde x=x-n\dfrac{y'}{\sqrt{1+y'^2}}\\\tilde y=y+n\dfrac{1}{\sqrt{1+y'^2}}\end{array}\right.$
задает декартовые координаты $(\tilde x,\tilde y)$ точки $M(s,n)$ (дифференцирование ведется по $x$).
Найдем $\tilde x_s'$:
$\tilde x_s'=\dfrac{\tilde x'}{s'}=\dfrac{1-n\dfrac{y''}{(1+y'^2)^{\frac{3}{2}}}}{\sqrt{1+y'^2}}$
Аналогично, получаем $\tilde y_s'=y'\tilde x_s'$.
Тогда $H_s=\sqrt{\tilde x_s'^2+\tilde y_s'^2}=\left|1-n\dfrac{y''}{(1+y'^2)^{\frac{3}{2}}}\right|=\left|1\pm\dfrac{n}{R}\right|$ - ч.т.д.
Правда, неплохо бы изначально задавать кривую $OC$ в параметрической форме:
$\left\{\begin{array}{l}x=x(s)\\ y=y(s)\end{array}\right.$
Проводя (более объемные) выкладки аналогично, и не забыв, что $y''_{x^2}=\left(\dfrac{\dot y}{\dot x}\right)_s'=\dots$, придем к тому же...
P.S. Подозреваю, что этот результат можно получить и без такого количества алгебры...

[Алексей К.]

Да здесь я... Уже пытаюсь выучить, что такое коэффициенты Ламе .
Пока не понравилось, что угол $MNC$ прямой. Может так: "кривосторонний угол $MNC$ --- прямой"?

И такое введение криволинейной системы координат как-то подозрительно вылядит.

-- 18 сен 2010, 17:18 --

ShMaxG в сообщении #353515 писал(а):

Вот если бы можно было зная радиус кривизны $R(s)$ найти задание этой кривой через (хоть как введенную) декартову систему координат...

Ну это-то вроде просто (только мне привычнее кривизна $k(s)$, равная $\pm\frac1{R(s)}$):Hack attempt!Подозреваю, однако, что Вам это иpвестно, и я просто не так понял вопрос...

[ShMaxG]

EtCetera в сообщении #353769 писал(а):

Вообще, неплохо бы уточнить, каким образом выбирается направление оси $NM$...

Уточняю: вот есть точка $M$. Далее берем такую точку $N$, что прямая $MN$ перпендикулярна касательной к кривой в точке $N$ (или, что то же самое, прямая $MN$ лежит на нормали к кривой в точке $N$). В этом смысле "угол" $MNC$ прямой. Вообще, можете на эту фразу в условии не смотреть, походу она лишняя.

Почитаю пока дальше...

[EtCetera]

ShMaxG

ShMaxG в сообщении #353787 писал(а):

EtCetera в сообщении #353769 писал(а):

Вообще, неплохо бы уточнить, каким образом выбирается направление оси $NM$...

Уточняю: вот есть точка $M$. Далее берем такую точку $N$, что прямая $MN$ перпендикулярна касательной к кривой в точке...

Нет, это все я прекрасно понимаю... Просто на прямой $NM$ взаимно уживаются два направления оси $NM$. Собственно, из них нужно как-то выбрать одно.

[ShMaxG]

EtCetera
Как я понял, Вы точно определили, что $\[{H_s} = \left| {1 \pm \frac{n} {{R\left( s \right)}}} \right|\] $. Спасибо! Я никак не мог получить что-то типа: $\left\{\begin{array}{l}\tilde x=x-n\dfrac{y'}{\sqrt{1+y'^2}}\\\tilde y=y+n\dfrac{1}{\sqrt{1+y'^2}}\end{array}\right.$

Цитата:

Просто на прямой $NM$ взаимно уживаются два направления оси $NM$. Собственно, из них нужно как-то выбрать одно.

Хм, а это существенно? Или только на знак влияет в модуле?

Алексей К. в сообщении #353773 писал(а):

Ну это-то вроде просто (только мне привычнее кривизна $k(s)$, равная $\pm\frac1{R(s)}$):Hack attempt!Подозреваю, однако, что Вам это иpвестно, и я просто не так понял вопрос...

Честно скажу -- не встречал такого (впрочем, сейчас разберусь во всем), спасибо!

-- Сб сен 18, 2010 17:37:59 --

Теперь осталось проверить, что ответы обоих подходов совпадают...

[Алексей К.]

У меня получилось $H_n=1$, $H_s=\sqrt{1-n\,k(s)}$. Поправка: $\color{blue} H_s=|1-n\,k(s)|$. Без плюс-минусов: расстояние $n$ положительно, если мы уходим влево от кривой (вектор нормали равен $\tau(s)+90^\circ$). Уходим вправо --- это просто $n<0$.

-- 18 сен 2010, 17:49 --

Ну как бы

$$X(n,s)=x(s)-n\sin\tau(s),\qquad Y(n,s)=y(s)+n\cos\tau(s).$$

Где $x(s),y(s),\tau(s),k(s)$ --- атрибуты Вашей базовой кривой. Дальше тупо по формулам, которых я не нашёл в Корне (там они наверняка есть, но я искал Ламэ), но нашёл в Википедии.

[ewert]

Алексей К. в сообщении #353798 писал(а):

У меня получилось $H_n=1$, $H_s=\sqrt{1-n\,k(s)}$. Без плюс-минусов: расстояние $n$ положительно, если мы уходим влево от кривой (вектор нормали равен $\tau(s)+90^\circ$). Уходим вправо --- это просто $n<0$.

не знаю, о чём речь, но это как-то сильно вряд ли: ежели плюс-минус (для выбора одного из двух возможных направлений) -- то где угодно, но только не под корнем.

[Алексей К.]

Под корнем. Положительная кривизна ограничивает возможность (экви-пардон-дистантного) смещения влево самим эти радиусом кривизны (т.е. пока под корнем положительно). А вправо --- смещайся, мол, на сколько угодно ($n<0,\, 1-nk>0$).

[EtCetera]

ShMaxG

ShMaxG в сообщении #353792 писал(а):

Я никак не мог получить что-то типа: $\left\{\begin{array}{l}\tilde x=x-n\dfrac{y'}{\sqrt{1+y'^2}}\\\tilde y=y+n\dfrac{1}{\sqrt{1+y'^2}}\end{array}\right.$

Так это же просто параметрическое задание прямой $NM$ ($n$ - параметр)...

ShMaxG в сообщении #353792 писал(а):

EtCetera в сообщении #353790 писал(а):

Просто на прямой $NM$ взаимно уживаются два направления оси $NM$. Собственно, из них нужно как-то выбрать одно.

Хм, а это существенно? Или только на знак влияет в модуле?

Влияет только на знак, а вот насколько существенно...

[ewert]

(Оффтоп)

ну, может, я и сдуру ляпнул, тогда пардоню. Просто мне показалось (по беглому просмотру), что борьба идёт за выбор одного из направлений нормали.

[Алексей К.]

Не, это я приврал малость. $H_s^2=[1-nk(s)]^2$.

[EtCetera]

Алексей К.

Алексей К. в сообщении #353811 писал(а):

Не, это я приврал малость. $H_s^2=[1-nk(s)]^2$.

Осталось к $\pm$ Вас склонить . Все-таки знак зависит как минимум от первоначального выбора направления оси $NM$.

[Алексей К.]

Да я легко склонюсь, когда уйду с работы и подумаю глубже об этих штуках. В такой криволинейной системе полюса появляются легко. Начну думать --- не надо ли ограничить "область определения" системы координат? Да я, чем склоняться и думать, --- просто Вам доверюсь, что так надо. Я же в тему зашёл узнать, что это за коэффициенты такие, и про что там ShMaxG написал? А тут глянул --- он меня в решатели призывает!