Олимпиадные задачи и "Бритва Оккама"

[Sonic86]

Единственное решение с числом простых множителей $s=6$ имеет вид $(p_j)=(2;3;11;23;31;47059), n = \prod p_j$

[Руст]

Замечательно. Я тогда высказал, что должны быть другие решения, однако в ручную не смог найти. Можете привести их в Mathlinks.

[Sonic86]

Вроде это здесь:
http://www.artofproblemsolving.com/Foru ... 6&t=363241

[Руст]

Да. Я там забыл указать эквивалентность $p|n\to p|\frac{n}{p}+1$ с условием
$\frac 1n+\sum_{p|n}\frac 1p \in N$.
Так как для любого другого простого делителя q выполняется $p|\frac{n}{q}$, получаем
$p|n[\frac 1n +\sum_{p|n}\frac 1p]$ для любого простого делителя. Из того, что n является произведением различных простых делителей отсюда получается $\frac{1}{n}+\sum_{p|n}\frac{1}{p}\in N.$

[maxal]

Последовательность таких $n$: A054377.
Они также описаны на MathWorld: http://mathworld.wolfram.com/PrimaryPse ... umber.html

[Sonic86]

Руст писал(а):

Что операциями только видов 1 и 2 нельзя получить все решения я давно понял. Операции 2 надо по крайней мере обобщить
2) Заменяем $n_i$ на два элемента $n_i+d \ (d|n_i), \frac{n_i(n_i+d)}{d}.$

По-моему, решение $(2,3,11,23,31,2 \cdot 3 \cdot 11 \cdot 23 \cdot 31)$ нельзя получить даже по этому правилу.

(Оффтоп)

Кажется множество решений уравнений $\frac{1}{x_1}+...+\frac{1}{x_k}=1$ устроено довольно сложно.