Если я правильно понял задачу, то наверное можно так:
1. Многочлены полны в пространстве непрерывных функций в равномерной метрике (т.Вейерштрасса).
2. Метрику L_p можно оценить равномерной метрикой. Например, для L_1 верно

на пространстве конечной меры, константа С - мера всего пространства. Для случая L_p через какое-нибудь неравенства Коши-Буняковского можно выписать что-нибудь похожее.
Это значит, что многочлены плотны в непрерывных функциях в метрике L_p
3. Непрерывные функции плотны в пространстве L_p, потому что любую простую функцию можно приблизить непрерывными, а любую интегрируемую по Лебегу можно приблизить простыми.
Таким образом, многочлены плотны в L_p.