2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




 
 Теорема Мюнца
Сообщение18.11.2005, 16:52 
Всем привет!
Если кто знает, где можно обнаружить доказательство теоремы Мюнца о полноте многочленов (обобщение Вейерштрасса), подскажите пожалуйста.
Достаточно простого варианта - для L_2, (а не для произвольного L_p).

 
 
 
 
Сообщение18.11.2005, 18:46 
Если я правильно понял задачу, то наверное можно так:
1. Многочлены полны в пространстве непрерывных функций в равномерной метрике (т.Вейерштрасса).
2. Метрику L_p можно оценить равномерной метрикой. Например, для L_1 верно $d_p(f,g)\leqslant C\rho(f,g)$ на пространстве конечной меры, константа С - мера всего пространства. Для случая L_p через какое-нибудь неравенства Коши-Буняковского можно выписать что-нибудь похожее.
Это значит, что многочлены плотны в непрерывных функциях в метрике L_p
3. Непрерывные функции плотны в пространстве L_p, потому что любую простую функцию можно приблизить непрерывными, а любую интегрируемую по Лебегу можно приблизить простыми.
Таким образом, многочлены плотны в L_p.

 
 
 
 
Сообщение18.11.2005, 20:04 
Спасибо за идею, но, боюсь, всё немного веселее.
Теорема звучит так:
Рассматриваем линейную оболочку последовательности $$ x^{n_k} $$, где $$ n_k  \in \mathbb{N} $$ и строго возрастает. $$ x \in [0,1] $$. Утверждается, что такое множество плотно в $$ L_2([0,1]) $$ тогда и только тогда, когда $$ \sum\limits_{k=1}^{\infty} \frac {1} {n_k} = \infty $$

Неужели никому в литературе такое не попадалось?

 
 
 
 
Сообщение23.11.2005, 16:06 
Мне это попадалось. Если ОЧЕНЬ надо, могу даже вспомнить, где.

PS (СЗОТ) Это Вам не Флоринский задал, часом?

 
 
 
 
Сообщение23.11.2005, 17:00 
george_spbsu писал(а):
Это Вам не Флоринский задал, часом?

Привет, земляк!
Он самый. Сан Сейич задал. :)

 
 
 
 
Сообщение23.11.2005, 17:03 
Вместо экзамена, что ли? Я это проходил год назад. Короче, я поищу, если найду - выложу.

 
 
 
 
Сообщение24.11.2005, 10:09 
Пиши е-мэйл, вышлю.

 
 
 
 Re: Теорема Мюнца
Сообщение24.11.2005, 10:54 
amarenzo писал(а):
Всем привет!
Если кто знает, где можно обнаружить доказательство теоремы Мюнца о полноте многочленов (обобщение Вейерштрасса), подскажите пожалуйста.
Достаточно простого варианта - для L_2, (а не для произвольного L_p).


Посмотри в книге: Качмаж С., Штейнгауз Г. Теория ортогональных рядов, ГИФМЛ, М., 1958 г. (Гл. 3, п. 6, стр. 103). Есть в местной библиотеке.

 
 
 [ Сообщений: 8 ] 


Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group