Теорема Мюнца

[amarenzo]

Всем привет!
Если кто знает, где можно обнаружить доказательство теоремы Мюнца о полноте многочленов (обобщение Вейерштрасса), подскажите пожалуйста.
Достаточно простого варианта - для L_2, (а не для произвольного L_p).

[Dan_Te]

Если я правильно понял задачу, то наверное можно так:
1. Многочлены полны в пространстве непрерывных функций в равномерной метрике (т.Вейерштрасса).
2. Метрику L_p можно оценить равномерной метрикой. Например, для L_1 верно $d_p(f,g)\leqslant C\rho(f,g)$ на пространстве конечной меры, константа С - мера всего пространства. Для случая L_p через какое-нибудь неравенства Коши-Буняковского можно выписать что-нибудь похожее.
Это значит, что многочлены плотны в непрерывных функциях в метрике L_p
3. Непрерывные функции плотны в пространстве L_p, потому что любую простую функцию можно приблизить непрерывными, а любую интегрируемую по Лебегу можно приблизить простыми.
Таким образом, многочлены плотны в L_p.

[amarenzo]

Спасибо за идею, но, боюсь, всё немного веселее.
Теорема звучит так:
Рассматриваем линейную оболочку последовательности

$$ x^{n_k} $$

, где

$$ n_k \in \mathbb{N} $$

и строго возрастает.

$$ x \in [0,1] $$

. Утверждается, что такое множество плотно в

$$ L_2([0,1]) $$

тогда и только тогда, когда

$$ \sum\limits_{k=1}^{\infty} \frac {1} {n_k} = \infty $$

Неужели никому в литературе такое не попадалось?

[george_spbsu]

Мне это попадалось. Если ОЧЕНЬ надо, могу даже вспомнить, где.

PS (СЗОТ) Это Вам не Флоринский задал, часом?

[amarenzo]

george_spbsu писал(а):

Это Вам не Флоринский задал, часом?

Привет, земляк!
Он самый. Сан Сейич задал.

[george_spbsu]

Вместо экзамена, что ли? Я это проходил год назад. Короче, я поищу, если найду - выложу.

[george_spbsu]

Пиши е-мэйл, вышлю.

[sceptic]

amarenzo писал(а):

Всем привет!
Если кто знает, где можно обнаружить доказательство теоремы Мюнца о полноте многочленов (обобщение Вейерштрасса), подскажите пожалуйста.
Достаточно простого варианта - для L_2, (а не для произвольного L_p).

Посмотри в книге: Качмаж С., Штейнгауз Г. Теория ортогональных рядов, ГИФМЛ, М., 1958 г. (Гл. 3, п. 6, стр. 103). Есть в местной библиотеке.