Дивергенция, ротор и градиент

[caxap]

(Оффтоп)

Простите, что вмешиваюсь. Но мне тоже кажестся, что kan141290 неправильно сделал, использовав для координат вектора $\overline r=(x_1,x_2,x_3)$ те же буквы, что и внизу $\frac {\partial}{\partial x_1},\frac {\partial}{\partial x_2},\frac {\partial}{\partial x_3}$.

kan141290 в сообщении #351722 писал(а):

$\operatorname{div} \vec r = \frac{\partial x_1}{\partial x_1}+\frac{\partial x_2}{\partial x_2}+\frac{\partial x_3}{\partial x_3}=3$

Ведь такого не должно быть? Мы взяли произвольное поле и получили дивергеницию 3?

[Someone]

Обычно $\vec r=x_1\vec e_1+x_2\vec e_2+x_3\vec e_3$ - радиус-вектор точки $M(x_1,x_2,x_3)$.

[Alexey1]

caxap в сообщении #352100 писал(а):

kan141290 в сообщении #351722 писал(а):

$\operatorname{div} \vec r = \frac{\partial x_1}{\partial x_1}+\frac{\partial x_2}{\partial x_2}+\frac{\partial x_3}{\partial x_3}=3$

Ведь такого не должно быть? Мы взяли произвольное поле и получили дивергеницию 3?[/off]

Если в качестве векторного поля взять $\mathbb F=P \vec e_1+Q \vec e_2 + R \vec e_3=x_1 \vec e_1+x_2 \vec e_2 + x_3 \vec e_3$, то дивергенция этого поля равна $div \mathbb F=\frac{\partial P}{\partial x_1}+\frac{\partial Q}{\partial x_2}+\frac{\partial R}{\partial x_3}=1+1+1=3$.

[caxap]

Someone в сообщении #352103 писал(а):

Обычно $\vec r=x_1\vec e_1+x_2\vec e_2+x_3\vec e_3$ - радиус-вектор точки $M(x_1,x_2,x_3)$.

Ладно. А почему частные производные беруться по переменным $x_1,x_2,x_3$? Как вообще может получится, что у произвольно выбранного поля дивергенция всегда равна 3?

[ShMaxG]

caxap
Оно не произвольно выбранное. Здесь каждой точке с координатами $(x_1,x_2,x_3)$ сопоставлен соответствующий радиус-вектор (а в общем случае сопоставление может быть иным). Т.е. $P,Q,R$ не обязательно равны соотв. $x_1,x_2,x_3$, а в общем случае являются функциями этих трех переменных.

[caxap]

ShMaxG в сообщении #352121 писал(а):

Оно не произвольно выбранное.

Но ведь в задании про $\vec r$ ничего не сказано, значит поле произвольное $\vec r=(r_1,r_2,r_3)$. В общем случае $r_i=r_i(x_1,x_2,x_3), i=1...3$. Т. е. $\mathrm{div}\ \vec r=\frac{\partial r_1}{\partial x_1}+\frac{\partial r_2}{\partial x_2}+\frac{\partial r_3}{\partial x_3}$. Мне просто интресно, что в задании ничего о векторных полях $\vec a$ и $\vec r$ не сказано (кроме констанстности $\vec a$), а автор темы точно нашёл дивергенцию от их вект. произведенения, равную 0.

[ShMaxG]

Вы что-то такое странное пишете. Про число 2 ничего не сказано, значит это число произвольное.
То, что там написано эр -- как раз и означает, что задано векторное поле, которое каждой точке со своими координатами сопоставляет свой радиус вектор. Написано а -- значит задано векторное поле, которое каждой точке сопоставляет вектор а.

[caxap]

Ладно. Я всё равно не очень понимаю. Давайте я решу 1-й пример, а вы проверьте, пожалуйста.

$x_i$ ($i=1...3$) --- это координатные оси (типа $x,y,z$). $\vec e_i$ --- их орты (типа $\vec i,\vec j,\vec k$).
$\vec r = r_1 \vec e_1+r_2 \vec e_2+r_3 \vec e_3 = (r_1,r_2,r_3)$, где $r_i=r_i(x_1,x_2,x_3), i=1...3$, т.е. это произвольное векторное поле (кстати, а почему вы назваете его радиус-вектор? Ведь в задании это не сказано. Это просто векторное поле, какое --- неизвестно, ну например, $\vec r = (x_1 x_2,\ 0,\ x_3^2)$.)
$\vec a = (a_1,a_2,a_3)=\mathrm{const}$, т.е. $a_i$ не меняются от точки к точке.

$$\operatorname {div} (\vec r \times \vec a)=\nabla\cdot (\vec r \times \vec a)=\vec a \cdot \operatorname {rot} \vec r = a_1\cdot \left(\frac{\partial r_3}{\partial x_2}-\frac{\partial r_2}{\partial x_3}\right) - \ldots$$

[Someone]

caxap в сообщении #352257 писал(а):

$\vec r = r_1 \vec e_1+r_2 \vec e_2+r_3 \vec e_3 = (r_1,r_2,r_3)$, где $r_i=r_i(x_1,x_2,x_3), i=1...3$, т.е. это произвольное векторное поле (кстати, а почему вы назваете его радиус-вектор? Ведь в задании это не сказано.

Потому что это - стандартное обозначение вектора, идущего из начала координат в заданную точку. И координаты его - $x_1,x_2,x_3$, а не какие-то $r_1,r_2,r_3$. Если, конечно, в задании не сказано что-нибудь другое.

[caxap]

Someone в сообщении #352267 писал(а):

Если, конечно, в задании не сказано что-нибудь другое.

Т.е. получается, что если бы в задании написали $\vec p$ вместо $\vec r$, то реешние было другое (как у меня)? Всегда думал, что решение от обозначений не зависит. Буду знать, спасибо. Извините, что отвел тему в сторону.