Дивергенция, ротор и градиент

[kan141290]

Здравствуйте!
Помогите разобраться со следующими задачами.
№1. Найти $div [\vec{r} \times \vec{a}], \vec{a}=const$
Решал так:
$[\vec{r} \times \vec{a}] = \left| \begin{array}{ccc} \vec{e_1} & \vec{e_2} & \vec{e_3} \\ x_1 & x_2 & x_3 \\ a_1 & a_2 & a_3 \end{array} \right| = \vec{e_1} * \left(x_2*a_3-x_3*a_2 \right)-\vec{e_2} * \left(x_1*a_3-x_3*a_1 \right) + \vec{e_3} * \left(x_1*a_2-x_2*a_1 \right) $
$div [\vec{r} \times \vec{a}]= \frac{\partial \left(x_2*a_3-a_2*x_3 \right)}{\partial x_1}+\frac{\partial \left(x_1*a_3-a_1*x_3 \right)}{\partial x_2}+\frac{\partial \left(x_1*a_2-a_1*x_2 \right)}{\partial x_3}=0$
Правильно или нет?

№2. Найти $rot [\vec{r} \times \vec{a}]$
Решение:
$[\vec{r} \times \vec{a}] = \left| \begin{array}{ccc} \vec{e_1} & \vec{e_2} & \vec{e_3} \\ x_1 & x_2 & x_3 \\ a_1 & a_2 & a_3 \end{array} \right| = \vec{e_1} * \left(x_2*a_3-x_3*a_2 \right)-\vec{e_2} * \left(x_1*a_3-x_3*a_1 \right) + \vec{e_3} * \left(x_1*a_2-x_2*a_1 \right) $
$rot (\vec{r}) = \left| \begin{array}{ccc} \vec{e_1} & \vec{e_2} & \vec{e_3} \\ \frac{\partial}{\partial x_1} & \frac{\partial}{\partial x_2} & \frac{\partial}{\partial x_3} \\ x_2*a_3-a_2*x_3 & x_1*a_3-a_1*x_3 & x_1*a_2-a_1*x_2 \end{array} \right| = \frac{\partial}{\partial x_2}(x_1*a_2-a_1*x_2)- \frac{\partial}{\partial x_3}(a_1*x_3-x_1*a_3)- \frac{\partial}{\partial x_1}(x_1*a_2-a_1*x_2)- \frac{\partial}{\partial x_3}(x_2*a_3-a_2*x_3)+ \frac{\partial}{\partial x_1}(a_1*x_3-x_1*a_3)- \frac{\partial}{\partial x_2}(x_2*a_3-a_3*x_2)=2*a_3$
Правильное ли решение?

№3. Найти $grad \left(\sqrt{x^2_1+x^2_2}*\sin x_3 \right)$
Пытался решать так:
$grad \left(\sqrt{x^2_1+x^2_2}*\sin x_3 \right)=\vec{e_1}*\frac{\partial \sqrt{x^2_1+x^2_2}*\sin x_3}{\partial x_1}+\vec{e_2}*\frac{\partial \sqrt{x^2_1+x^2_2}*\sin x_3}{\partial x_2}+\vec{e_3}*\frac{\partial \sqrt{x^2_1+x^2_2}*\sin x_3}{\partial x_3}=\vec{e_1}*\frac{x_1*\sin x_3}{\sqrt{x^2_1+x^2_2}}+\vec{e_2}*\frac{x_2*\sin x_3}{\sqrt{x^2_1+x^2_2}}+\vec{e_3}*\sqrt{x^2_1+x^2_2}*\cos x_3$
Не могу дальше преобразовать, или неправильно начал решать. Подскажите пожалуйста.

[meduza]

№1. У Вас путаница с обозначениями. Посмотрите на компоненты $\vec r$ и на переменные, по которым беруться производные.

Дальше не смотрел, но, судя во всему, там та же проблема.

(Оффтоп)

Синус и другие функции пишутся прямым шрифтом (\sin x, \mathrm{grad} a). Произведение пишется либо как \cdot, либо как \times, либо вообще не пишется. Звёздочка -- не умножение.

[gris]

В третьем задании всё вроде бы нормально. Ну можно корень в знаменателе вынести за скобку.

[kan141290]

№1. $x_i$ - компоненты вектора $\vec{r}$.
Вижу что знак перепутал. Но ответ получается тот же.
$div [\vec{r} \times \vec{a}]= \frac{\partial \left(x_2 \cdot a_3-a_2 \cdot x_3 \right)}{\partial x_1}+\frac{\partial \left(x_3 \cdot a_1-a_3 \cdot x_1 \right)}{\partial x_2}+\frac{\partial \left(x_1 \cdot a_2-a_1 \cdot x_2 \right)}{\partial x_3}=0$
Или там другая ошибка?

[meduza]

kan141290 в сообщении #351528 писал(а):

Или там другая ошибка?

Да. Чтобы Вы сами поняли свою ошибку, возьмите произвольный вектор $\vec r$, вычислите $\operatorname{div} \vec r$. По Вашему "методу" всегда получится 3.

[kan141290]

meduza в сообщении #351532 писал(а):

Чтобы Вы сами поняли свою ошибку, возьмите произвольный вектор $\vec r$, вычислите $\operatorname{div} \vec r$.

$\operatorname{div} \vec r = \frac{\partial x_1}{\partial x_1}+\frac{\partial x_2}{\partial x_2}+\frac{\partial x_3}{\partial x_3}=3$
Всё равно не понимаю в чём ошибка.
Может быть примерно так:
$\operatorname{div} [\vec r \times \vec a] = \frac{\partial \left( x_2 a_3-a_2 x_3+x_3 a_1-a_3 x_1+x_1 a_2-a_1 x_2 \right)}{\partial x_1}+\frac{\partial \left( x_2 a_3-a_2 x_3+x_3 a_1-a_3 x_1+x_1 a_2-a_1 x_2 \right)}{\partial x_2}+\frac{\partial \left( x_2 a_3-a_2 x_3+x_3 a_1-a_3 x_1+x_1 a_2-a_1 x_2 \right)}{\partial x_3}$ ?

[Alexey1]

Всё правильно, и в знаке ошибки не было ($\vec r=x_1 \vec e_1+x_2 \vec e_2+x_3 \vec e_3$).

[ShMaxG]

Ошибка в знаке во втором слагаемом была... В остальном (в №1) вроде все верно, тоже больше не вижу ошибок.

meduza в сообщении #351532 писал(а):

возьмите произвольный вектор $\vec r$, вычислите $\operatorname{div} \vec r$.

[Alexey1]

ShMaxG в сообщении #351743 писал(а):

Ошибка в знаке во втором слагаемом была...

Ну как же, второе слагаемое должно быть $x_3a_1-x_1a_3$, а там записано $-(x_1a_3-x_3a_1)$.

[ShMaxG]

Я имел ввиду второе слагаемое в выражении для дивергенции. Минус как раз пропущен.

kan141290 в сообщении #351507 писал(а):

$div [\vec{r} \times \vec{a}]= \frac{\partial \left(x_2*a_3-a_2*x_3 \right)}{\partial x_1}$+$\frac{\partial \left(x_1*a_3-a_1*x_3 \right)}{\partial x_2}+\frac{\partial \left(x_1*a_2-a_1*x_2 \right)}{\partial x_3}=0$

Тут должен быть минус.

[Alexey1]

Это я смотрел не на дифиргенцию, а на векторное произведение. А в дивергенции, да ошибка.

[kan141290]

С первым заданием теперь всё понятно. Попробовал переделать второе:
$[\vec{r} \times \vec{a}] = \left| \begin{array}{ccc} \vec{e_1} & \vec{e_2} & \vec{e_3} \\ x_1 & x_2 & x_3 \\ a_1 & a_2 & a_3 \end{array} \right| = \vec{e_1} * \left(x_2*a_3-x_3*a_2 \right)+\vec{e_2} * \left(x_3*a_1-x_1*a_3 \right) + \vec{e_3} * \left(x_1*a_2-x_2*a_1 \right) $

$rot (\vec{r}) = \left| \begin{array}{ccc} \vec{e_1} & \vec{e_2} & \vec e_3 \\ \frac{\partial}{\partial x_1} & \frac{\partial}{\partial x_2} & \frac{\partial}{\partial x_3} \\ x_2*a_3-a_2*x_3 & x_3*a_1-a_3*x_1 & x_1*a_2-a_1*x_2 \end{array} \right| =\vec{e_1} \left(\frac{\partial}{\partial x_2}(x_1*a_2-a_1*x_2)- \frac{\partial}{\partial x_3}(x_3*a_1-a_3*x_1)\right)-\vec e_2 \left(\frac{\partial}{\partial x_1}(x_1*a_2-a_1*x_2)- \frac{\partial}{\partial x_3}(x_2*a_3-a_2*x_3)\right)+ \vec e_3\left(\frac{\partial}{\partial x_1}(x_3*a_1-a_3*x_1)- \frac{\partial}{\partial x_2}(x_2*a_3-a_3*x_2)\right)=-2*a_3$
Это правильно или нет?

[ShMaxG]

Должно получиться $\[ - 2{\text{a}}\]$, просто перепроверьте внимательно.

А еще можно воспользоваться формулой: $\[\operatorname{rot} \left[ {{\text{a}},{\text{b}}} \right] = {\text{a}}\operatorname{div} {\text{b}} - {\text{b}}\operatorname{div} {\text{a}} + \left( {{\text{b}},\nabla } \right){\text{a}} - \left( {{\text{a}},\nabla } \right){\text{b}}\] $.

К сожалению, в случае с диффоператорами правило "бац минус цаб" не работает, появляется добавка в виде двух слагаемых.

[kan141290]

Может быть я что-то напутал в вычислениях, но получилось $-2a_1 \vec e_1 -2a_3 \vec e_3$, также как и в предыдущей формуле (там недописано было).

[kan141290]

Всё перепроверю, скорее всего просто ошибка в расчётах.
Спасибо всем.