Определение производной без использования понятия предела.

[paha]

Пара $([0;1], K)$ малоинтересна, мне кажется. Вот разве что можно спросить, является ли $K$ нульмерным остовом клеточного разбиения отрезка $[0;1]$?

-- Вт сен 14, 2010 10:30:03 --

В качестве задачи на клеточные пространства

[Виктор Викторов]

AD в сообщении #346512 писал(а):

...Вы просто заменили выражение "$\lim\limits_{x\to x_0}f(x)=y_0$" на его определение через понятие "непрерывность": "при доопределении $f(x_0)=y_0$" функция $f$ становится непрерывной в $x_0$".

Чисто формально, если уже определена непрерывность функции в точке через открытые множества, то действительно можно дать определение предела функции в точке через непрерывность.
Определение. Число $y_0$ называется пределом функции $y=f(x)$ при ${x\to x_0}$, если функция $\varphi(x)=\left\{ \begin{array} {l} f(x), x\neq x_0, \\ y_0, x=x_0, \end{array} \right. $ непрерывна в точке $x_0$

Я бы не стал возвращаться к этому разговору, если бы не обнаружил, что практически без изменений это определение годится для определения предела в точке в любых топологических пространствах.

Определение. Пусть дано отображение $f$:$X\to Y$ топологического пространства $X$ в топологическое пространство $Y$. Элемент $y_0\in Y$ называется пределом отображения $f$:$X\to Y$ в точке $x_0\in X$ если отображение $\varphi(x)=\left\{ \begin{array} {l} f(x), x\neq x_0, \\ y_0, x=x_0, \end{array} \right. $ непрерывно в точке $x_0$.

Это определение смотрится эквивалентным определению предела по фильтру, если рассматривать предел только по фильтру проколотых окрестностей точки $x_0$.

Думаю, что не лишним будет здесь упомянуть соображения terminator-II о том, что пределы могут быть различны при различных фильтрах:

terminator-II в сообщении #213073 писал(а):

Берем функцию $f(x)=0$ при $x\ne 0$ и $f(0)=1$. Если взять фильтр сходящийся к нулю и содержащий множество $\{0\}$, то предел функции по такому фильтру будет равен 1. Если взять фильтр сходящийся к нулю и содержащий проколотые окрестности нуля, то предел по такому фильтру будет равен 0.

Виктор Викторов в сообщении #213806 писал(а):

...мы можем рассмотреть предел функции по трём различным фильтрам.

1. Фильтр с базой из проколотых окрестностей нуля.
Это классическая ситуация соответствующая определению предела при $x\ne x_0$. База соответствующего фильтра в множестве значений состоит из множеств {0} и {0, 1}. Предел равен нулю.

2. Фильтр с базой {0}. Это ситуация псевдоопределения предела без ограничения $x\ne x_0$. База соответствующего фильтра в множестве значений состоит из множеств {1} и {0, 1}. Предел равен единице. Фильтр как бы говорит: «мне безразлично, что там вокруг нуля. В нуле значение единица!».

3. Фильтр всех окрестностей нуля. База соответствующего фильтра в множестве значений состоит из множества {0, 1}. Предел функции по этому фильтру не существует! Фильтр как бы говорит: «противоречие между стремлением и результатом».

Новое определение соответствует только первому случаю.