Таракан в параллелепипеде

[Busy_Beaver]

Busy_Beaver в сообщении #351676 писал(а):

ИСН в сообщении #351603 писал(а):

(Оффтоп)

Откуда вдруг бесконечность, не понял. В остальном ответ правильный, но только для квадратного основания. А так можно сделать 8. Как - я изобразил.

А размеры основания Вашего параллелепипеда можно узнать?

Всё! Уже не надо. Сам нашёл. Ответ на задачу - 480.

[lim0n]

Busy_Beaver в сообщении #351682 писал(а):

Ответ на задачу - 480.

Впечатляет!

(Моё решение)

Пусть $b=ax$ и $c=ay$.
Тогда $l_{green}=b+c=a(x+y)$ и $l_{red}=\sqrt{(\frac{a}{2} + b)^2+(\frac{a}{2}+c)^2}=\frac{a}{2}\sqrt{(1+2x)^2+(1+2y)^2}$
Решая уравнение $l_{green}=l_{red}$, находим $x=\frac{2y+1}{2(2y-1)}$.
$\frac{2y+1}{2(2y-1)}+y$ минимально при $y=\frac{1+\sqrt2}{2}$, тогда $x=\frac{1+\sqrt2}{2}$.

ИСН писал(а):

Откуда вдруг бесконечность, не понял.

При увеличении размеров параллелипипеда путь $l_{red}$ становится короче $l_{green}$, а это означает, что вдоль направления $l_{red}$ можно провести сколь угодно много (не обязательно прямолинейных) путей длиной $l_{green}$.

[ИСН]

(Оффтоп)

lim0n в сообщении #351849 писал(а):

При увеличении размеров параллелипипеда путь $l_{red}$ становится короче $l_{green}$, а это означает, что вдоль направления $l_{red}$ можно провести сколь угодно много (не обязательно прямолинейных) путей длиной $l_{green}$.

Только они уже не будут кратчайшими

[lim0n]

(Оффтоп)

ИСН в сообщении #351858 писал(а):

Только они уже не будут кратчайшими

Судя по Вашему же рисунку Вы так не считаете ($l_{green}$ - путь по стенам параллельно полу). Более того, по Вашему рисунку видно, что путь "по ребру вверх до потолка - по диагонали в противоположный угол - по ребру вниз" короче, чем изломанный в двух плоскостях, а значит и здесь можно "разгуляться".

[TOTAL]

lim0n в сообщении #351849 писал(а):

$\frac{2y+1}{2(2y-1)}+y$ минимально при $y=\frac{1+\sqrt2}{2}$, тогда $x=\frac{1+\sqrt2}{2}$.

К вопросу в задаче эта минимальность не имеет отношения.

[ИСН]

(Оффтоп)

Мой рисунок - приблизительный набросок, и линеечкой по нему мерить нельзя. При правильных пропорциях все три показанных пути будут одинаковой длины.

[Xey]

ИСН в сообщении #351876 писал(а):

Мой рисунок - приблизительный набросок, и линеечкой по нему мерить нельзя. При правильных пропорциях все три показанных пути будут одинаковой длины.

Это давно понятно,

Xey в сообщении #350975 писал(а):

На трехмерной картинке трудно представить длины путей.

непонятно почему 3*2, а не 5*2 путей.

Пользуясь рисунком разверток (на второй странице) нетрудно записать квадрат длины пути таракана через длины граней a,b,c , для всех пяти вариантов (для правых разверток выражения будут одинаковые).
Может быть решение будет для всех 5 вариантов?

[lim0n]

(Оффтоп)

ИСН в сообщении #351876 писал(а):

При правильных пропорциях все три показанных пути будут одинаковой длины.

Я хочу сказать (аналогия для двухмерного пространства): нельзя утверждать, что между двумя точками существует только $n$ путей одинаковой (естественно, не минимальной) длины.

[ИСН]

Xey, пронумеруйте развёртки как-нибудь, что ли. Вкратце: две из них суть одно и то же (это те, что справа), а ещё две никак невозможно сделать одинаковыми друг с другом и с третьей. Что-нибудь одно.
Путей не 3*2 и не 5*2. Путей 8, из них "разных" - 3.

(Оффтоп)

lim0n, занимаетесь фигнёй. Задача была про пути одинаковой и минимальной длины, о них и речь. Иначе-то, конечно, можно сколько угодно - - -

[Xey]

ИСН в сообщении #351911 писал(а):

две из них суть одно и то же (это те, что справа)

Нет, те что справа - разные. В правом верхнем случае путь начинается с узкой грани, в правом нижнем с широкой.

А на Вашей трехмерной картинке нарисованы 2 пути вправо /верх и 1 в бок. Возможны еще два - влево/вверх.
И все это умножить на 2 . Итого 10.

[TOTAL]

Xey в сообщении #351916 писал(а):

Возможны еще два - влево/вверх.

"влево/вверх" только один

[Xey]

TOTAL в сообщении #351927 писал(а):

"влево/вверх" только один

Да два же, симметрично (относительно вертикальной плоскости , проходящей через диагональ верхней грани) путям вправо/вверх.

[TOTAL]

Xey в сообщении #351929 писал(а):

TOTAL в сообщении #351927 писал(а):

"влево/вверх" только один

Да два же, симметрично (относительно вертикальной плоскости , проходящей через диагональ верхней грани) путям вправо/вверх.

Верхняя грань не симметрична относительно своей диагонали.

[ИСН]

Вот-вот. Другой путь получится не минимальной длины, ибо основание - не квадрат.
А Ваши правые развёртки всё-таки одна и та же. Один путь начинается точно так же, как другой кончается, и наоборот.

[Xey]

ИСН в сообщении #351933 писал(а):

ибо основание - не квадрат.

Параллелепипед же прямоугольный.

ИСН в сообщении #351933 писал(а):

А Ваши правые развёртки всё-таки одна и та же. Один путь начинается точно так же, как другой кончается, и наоборот.

Но пространственно они не совпадают.