Возведение в степень

[Sasha2]

Можно ли утверждать, что кроме умножения больше не существует такой операции $*$, для которой справедливо равенство $(\alpha * \beta)^{\gamma}=\alpha^{\gamma} * \beta^{\gamma} $ для всех вещественных $\alpha>0, \beta, \gamma$

[Профессор Снэйп]

Sasha2 в сообщении #350455 писал(а):

Можно ли утверждать, что кроме умножения больше не существует такой операции $*$, для которой справедливо равенство $(\alpha * \beta)^{\gamma}=\alpha^{\gamma} * \beta^{\gamma} $ для всех вещественных $\alpha>0, \beta, \gamma$

$x \ast y = 1$

[Sasha2]

И чему же результат этой операции равен на числах 2 и 3, например.

[ИСН]

1.

[gris]

Результат операции будет равен 1 для всех пар.
Можно взять такую же тривиальную операцию $a*b=0$
Либо деление.
Либо обобщение всего предыдущего $a*b=a^n\cdot b^m$

[Профессор Снэйп]

gris в сообщении #350462 писал(а):

Можно взять такую же тривиальную операцию $a*b=0$

А не начнутся проблемы с отрицательным показателем степени?

[gris]

Так там вроде бы всё больше нуля.
Или это я так понял?
Вообще если это дело прологарифмировать, то будем иметь дистрибутивный закон. То есть возможность превратить множество положительных чисел в кольцо разными способами? Впрочем, не буду фантазировать.

[EtCetera]

gris в сообщении #350462 писал(а):

Либо обобщение всего предыдущего $a*b=a^n\cdot b^m$

Причем, кроме операций такого вида, других подходящих операций нет.
Для того чтобы убедиться в этом, необходимо рассмотреть функцию $f(x)=x*1$. Для нее справедливо $f^{\gamma}(x)=f\left(x^{\gamma}\right)$. Продифференцируем это тождество сначала по $x$, а затем по $\gamma$, и разделим первое из получившихся равенств на второе. Получим ДУ

$$\dfrac{f'}{f\ln f}=\dfrac{1}{x\ln x}$$

Отсюда $f(x)=x^C$. Аналогично для $g(x)=1*x$. Окончательно получаем указанное gris обобщение.

[Профессор Снэйп]

gris в сообщении #350467 писал(а):

Так там вроде бы всё больше нуля.
Или это я так понял?

Стандартное понимание такое: для $x^y$ предполагается $x > 0$, $y$ --- произвольное действительное. По крайней мере, нас так в школе учили.

Есть ещё другое возведение в степень: $x$ --- произвольное ненулевое целое, $y$ --- произвольное целое либо $x = 0$ и $y$ --- положительное целое.

На пересечении своих областей определения эти два возведения в степень совпадают.

А автор темы, насколько я понял, требует лишь, чтобы $\alpha$ было больше нуля, а $\beta$ и $\gamma$ у него произвольные.

Sasha2 в сообщении #350455 писал(а):

...для всех вещественных $\alpha>0, \beta, \gamma$

-- Ср сен 08, 2010 11:40:12 --

EtCetera в сообщении #350468 писал(а):

Продифференцируем это тождество сначала по $x$...

Вроде в условии не то что дифференцируемость, а даже непрерывность не требуется!

[Sasha2]

Все понятно, более менее.
Большое спасибо всем.