Задачка смешанного типа

[rotozeev]

e7e5 в сообщении #349897 писал(а):

ewert в сообщении #349883 писал(а):

Верно.

Не совсем. Итоговая формула должна зависить от времени $t$, так что при $t \to +\infty$ должна получаться формула по виду
$MgR/3$

эдак мы придем или к Ахиллесу и черепахе в идеалистическом ключе, или к рассмотрению работы землекопа по хождению в киоск за пивом, вытирания пота и т.п. в реалистичном рассмотрении :)

В задаче про кучу было указано найти минимально возможную работу по разбрасыванию. так что тут не время надо стремить к бесконечности, а "идеальность".

[e7e5]

rotozeev в сообщении #349902 писал(а):

В задаче про кучу было указано найти минимально возможную работу по разбрасыванию. так что тут не время надо стремить к бесконечности, а "идеальность".

Попробуйте это доказать, через математические выкладки отражающие физическую суть:
Землекопам незачем бить баклуши. Бросая кусочки $dm$, они на сообщение кинетической энергии кусочку затрачивают работу.
Скорость, с которой кусочки покидают кучу, можно связать с объемом кучи и временем. Такой подход отражает причинно-следственную связь и естественнен. Утверждение, что результат не зависит от времени, совсем неочевидно и требует подтверждения. В конце концов, все происходит во времени.

[rotozeev]

e7e5 в сообщении #349922 писал(а):

rotozeev в сообщении #349902 писал(а):

В задаче про кучу было указано найти минимально возможную работу по разбрасыванию. так что тут не время надо стремить к бесконечности, а "идеальность".

Попробуйте это доказать, через математические выкладки отражающие физическую суть:
Землекопам незачем бить баклуши. Бросая кусочки $dm$, они на сообщение кинетической энергии кусочку затрачивают работу.
Скорость, с которой кусочки покидают кучу, можно связать с объемом кучи и временем. Такой подход отражает причинно-следственную связь и естественнен. Утверждение, что результат не зависит от времени, совсем неочевидно и требует подтверждения. В конце концов, все происходит во времени.

Понятно, что кусок земли пролетает расстояние r за конечное время, которое не зависит от массы куска. И если идеализировать ситуацию, когда каждый кусок земли бесконечно мал, то мы получаем бесконечно большое время разбрасывания.

Однако, все еще зависит от свойств копателя. Если это супергерой, который обладает сверхсветовой скоростью (идеальный землекоп), то он мгновенно разделит всю кучу на бесконечное число частей, массой dm каждая, и разбросает их все за время меньшее, чем время пролета одного куска от центра к краю.

Ну или там поставит хитрую взрывчатку, которая взрывом разбросает кучу правильно по всему кругу...
То есть это уже неинтересные подробности, связанные с вопросом: а как это конкретно делать?

[e7e5]

rotozeev в сообщении #349929 писал(а):

То есть это уже неинтересные подробности, связанные с вопросом: а как это конкретно делать?

Очень даже интересные и связанные с практикой.
Вместо разброса кучи, предложенную ewert, рассмотрите например
выкачивание воды из колодца насосом.
Диаметр шланга $3/4''$. Как чувствуете разницу?

Если воспользоваться вашим подходом, то время будет неважно. А на практике очень как важно. Если, повторюсь, вы выпишете формулу, в которой фигурирует время, а потом предельным переходом, время как бы "исчезнет" из формулы, то в таком случае я бы посчитал задачу решенной, что есть понимание физики.

[Issam]

Можно просто через потенциальную энергию вынутой земли.
Потенциальная энергия определяется высотой центра масс. Вначале она находится в центре объема будущей ямы, в конце -- на поверхности. Поэтому центр масс приходится поднимать на половинную высоту.