Задачка смешанного типа

[Ylyasha]

Помогите разобраться с задачкой. Какую минимальную работу A требуется совершить, чтобы вырыть прямоугольную яму площадью основания S и глубиной H, считая, что выбираемый из ямы малыми порциями грунт поднимается до уровня H=0. Плотность грунта ρ.

[rotozeev]

Отталкиваться от того факта, что работа по поднятию слоя тонкого слоя земли массы m на высоту h равна mgh. И с каждым выкопанным слоем высота для поднятия растет...

[Gravist]

Поскольку при рытье грунт выбрасывается на 4 стороны, то посчитайте работу на весь объём с удельным весом, вынутый полностью, и разделите на 4 (если не углубляться в детали).
Возможные "детали":
- учесть прямоугольное сечение ямы,
- учесть угол откоса вынутого грунта,
- задаться высотой или шириной бруствера отвала,
- найти $min$ ширины или высоты...

[lel0lel]

Gravist в сообщении #349707 писал(а):

Возможные "детали":
- учесть прямоугольное сечение ямы,
- учесть угол откоса вынутого грунта,
- задаться высотой или шириной бруствера отвала,
- найти $min$ ширины или высоты...

Оригинально, особенно учитывая это:

Ylyasha в сообщении #349700 писал(а):

считая, что выбираемый из ямы малыми порциями грунт поднимается до уровня H=0.

[Gravist]

Ylyasha в сообщении #349700 писал(а):

считая, что выбираемый из ямы малыми порциями грунт поднимается (только - Gravist) до уровня H=0

он не попадёт наверх!

[rotozeev]

Я так полагаю, что задача эта - на понимание того, что такое интеграл и где он применяется, а не на понимание тонкостей копания ям

[Gravist]

rotozeev в сообщении #349723 писал(а):

... задача эта - на понимание того, что такое интеграл и где он применяется ...

Согласен. Не буду усложнять

[photon]

не нужен тут интеграл - плотность одинаковая на любой глубине, поэтому можно считать, что весь грунт поднимается с половинной глубины

[rotozeev]

photon в сообщении #349768 писал(а):

не нужен тут интеграл - плотность одинаковая на любой глубине, поэтому можно считать, что весь грунт поднимается с половинной глубины

Это как раз следует из подсчета интеграла $\int_0^hh'dh'=\dfrac{h^2}{2}$

[photon]

rotozeev в сообщении #349818 писал(а):

photon в сообщении #349768 писал(а):

не нужен тут интеграл - плотность одинаковая на любой глубине, поэтому можно считать, что весь грунт поднимается с половинной глубины

Это как раз следует из подсчета интеграла $\int_0^hh'dh'=\dfrac{h^2}{2}$

это понятно, что следует, но очевидно и без вычисления интеграла

[ewert]

photon в сообщении #349820 писал(а):

это понятно, что следует, но очевидно и без вычисления интеграла

Как?...

[gris]

Разве это не следует из симметричности ямы относительно плоскости, проходящей посередине глубины? Для каждого небольшого кусочка, поднимаемого снизу к середине, найдётся точно такой кусочек, сверху, который можно опустить к середине, совершив отрицательную работу. На практике чем больше кусок земли, поднимаемый лопатой, тем больше общая работа, ибо некоторые части куска придётся поднимать выше нулевого уровня, то есть минимум работы достигается при бесконечно малом куске выбрасываемого грунта (с учётом интегрирования, конечно).
Однако тут есть одна щепетильность. Если по-Архиповски подойти. Чем меньше кусочки, тем больше взмахов лопатой придётся сделать. Теоретически общая работа по перемещению лопаты будет равна нулю, но практически должен существовать оптимальный размер кусочков грунта.

[photon]

ewert в сообщении #349833 писал(а):

photon в сообщении #349820 писал(а):

это понятно, что следует, но очевидно и без вычисления интеграла

Как?...

А Вы и на равноускореное движение школьные задачи решаете с применением интегралов?
Помните, как Гаусс вычислял сумму чисел от 1 до 100? Так и тут - нижнему малому слою берем в пару верхний, второму - предпоследний и т.д.... и видим, что поднятие любой пары равносильно двукратному поднятию слоя со средней глубины.

[ewert]

Можно, но это и есть интегрирование, только кустарными средствами. Логически проще проинтегрировать нормально.

[e7e5]

Ylyasha в сообщении #349700 писал(а):

считая, что выбираемый из ямы малыми порциями грунт поднимается до уровня H=0.

Если малые порции выгружены по периметру ямы, то куда же другие девать?
Получается их нужно транспортировать по поверхности и тогда учитывать работу по пермещению этих порций? Видимо задача такова, что такие действия не учитываются.

А если учитывать, то интересно какая фмгура из тонкого слоя грунта ( по сранению с глубиной ямы) образуется на поверхности, чтобы работа по транспортировки грунта была минимальной?

-- Вс сен 05, 2010 16:15:04 --

ewert в сообщении #349845 писал(а):

Можно, но это и есть интегрирование, только кустарными средствами. Логически проще проинтегрировать нормально.

Уважаемый ewert, как учесть транспортировку грута по поверхнсти $H=0$ для квадратной ямы, чтобы производимая работа была минимальной?

Вот если бы яма стали копать по окружности, то и грунт рассыпали по все большей окружности на высоте $H=0$ тонким слоем, .. нет тоже не ясно...