2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




Начать новую тему Ответить на тему На страницу 1, 2  След.
 
 лодка
Сообщение20.04.2010, 18:59 


20/04/09
1067
В неподвижной воде находится лодка. На носу лодки стоит человек. Человек переходит с носа лодки на ее корму и останавливается. Модуль силы сопротивления, дейстующей на лодку со стороны воды, пропорционален модулю скорости лодки. Доказать, что при $t\to +\infty$ лодка вернется в исходное положение.

 Профиль  
                  
 
 Re: лодка
Сообщение20.04.2010, 20:05 
Заслуженный участник


13/12/05
4683
Пусть $u=u(t)$ - расстояние от человека до носа лодки в момент времени $t$, $x=x(t)$ - координата носа лодки. Тогда получаем дифференциальное уравнение движения лодки
$$
M\ddot x = m(\ddot u - \ddot x)-k\dot x\, ,
$$
где $M$ - масса лодки, $m$ - масса человека, $k$ - коэффициент трения об воду.
Перепишем уравнение
$$
(M+m)\ddot x+k\dot x=m\ddot u
$$
Проинтегрируем по $t$ от $0$ до $+\infty$.
Получим
$$
(M+m)(\dot x(+\infty)-\dot x(0))+k(x(+\infty)-x(0))=m(\dot u(+\infty)-\dot u(0))
$$
По-моему очевидно, что $\dot x(+\infty)=0$. Поэтому
$$
x(+\infty)-x(0)=0
$$

 Профиль  
                  
 
 Re: лодка
Сообщение20.04.2010, 20:09 


20/04/09
1067
Товарисч, не для Вас выложено! :evil:

Padawan в сообщении #311494 писал(а):
По-моему очевидно, что $\dot x(+\infty)=0$

тут пробел, формально говоря.

 Профиль  
                  
 
 Re: лодка
Сообщение20.04.2010, 20:19 
Заслуженный участник


13/12/05
4683
Извиняюсь :-) Просто я сначала не поверил, а потом понял, что в момент остановки человека лодка назад поедет.

 Профиль  
                  
 
 Re: лодка
Сообщение21.04.2010, 10:52 
Заслуженный участник


11/05/08
32166
terminator-II в сообщении #311496 писал(а):
тут пробел, формально говоря.

Лишь формально и лишь для математиков. Физикам же очевидно, что все скорости на бесконечности будут нулевыми. А математикам да, ещё придётся доказывать, что $e^{-\alpha t}\to0$ при $t\to+\infty$.

Padawan в сообщении #311502 писал(а):
Просто я сначала не поверил,

Я тоже. Факт и впрямь выглядит на первый взгляд невероятным. А на второй -- уже очевидным.

(А невероятным он выглядит потому, что в отсутствие трения он очевидно неверен.)

 Профиль  
                  
 
 Re: лодка
Сообщение21.04.2010, 19:39 


20/04/09
1067
ewert
Я этой задачей студентов потчую. Она для Вас очевидна. Очень хорошо. Запишите себе это в актив. Ну как дети малые чсна слово.

 Профиль  
                  
 
 Re: лодка
Сообщение22.04.2010, 08:21 
Заслуженный участник


11/05/08
32166
terminator-II в сообщении #311849 писал(а):
Она для Вас очевидна.

Только на второй взгляд.

Задачка хорошая. Но равенство нулю предельной скорости -- всё-таки тривиально. Со всех точек зрения.

 Профиль  
                  
 
 Re: лодка
Сообщение31.08.2010, 15:04 
Аватара пользователя


01/12/09
56
aka Snowman
terminator-II в сообщении #311472 писал(а):
Модуль силы сопротивления, дейстующей на лодку со стороны воды, пропорционален модулю скорости лодки.


Padawan в сообщении #311494 писал(а):
$k$ - коэффициент трения об воду


Тут интересно то, что ответ не зависит от коэффициента k. Т.е. подставим значение k=0 (или устремим) -- и никаких проблем! Так?

А вот если решать эту задачу, изначально положив k=0, то ответ для смещения лодки получится НЕ нулевым.
Для этого достаточно заметить, что центр масс остается на месте.

*******
Однако, типа, парадокс! :wink:

 Профиль  
                  
 
 Re: лодка
Сообщение31.08.2010, 17:52 
Заслуженный участник


27/04/09
28128
Issam в сообщении #348641 писал(а):
Однако, типа, парадокс! :wink:
Да, вы ещё найдите $\int {x^a dx}$ и только потом подставьте $a = -1$. Парадокс! :shock:

 Профиль  
                  
 
 Re: лодка
Сообщение04.09.2010, 16:26 


06/12/06
347
Issam в сообщении #348641 писал(а):
Тут интересно то, что ответ не зависит от коэффициента k. Т.е. подставим значение k=0 (или устремим) -- и никаких проблем! Так?
Если ответом считать закон движения, то — не совсем, см. ниже.
Цитата:
А вот если решать эту задачу, изначально положив k=0, то ответ для смещения лодки получится НЕ нулевым.
Для этого достаточно заметить, что центр масс остается на месте.

*******
Однако, типа, парадокс! :wink:
Разрешение этого парадокса можно найти, получив решение уравнения для движения лодки, которое Padawan выписал в сообщении #311494
$$
(M+m)\ddot x+k\dot x=m\ddot u
.
$$
Это решение (с учетом того, что $\dot{x}(0)=0$ и координата $x$ выбрана так, чтобы $x(0)=0$) имеет вид
Hack attempt!
Интегрируя по частям, преобразуем его к виду
Hack attempt!
Из первого соотношения очевидно следует, что $x(t)\to0$ при $t\to+\infty$. Из второго настолько же очевидно следует, что при $k=0$ центр тяжести лодки с человеком остается неподвижным.

Второе соотношение позволяет также увидеть, как будет двигаться лодка при достаточно малых $k\neq0$. А именно, от начала движения человека до его остановки лодка движется так, что центр тяжести лодки с человеком мало отклоняется от своего первоначального положения, а затем лодка возвращается в свое первоначальное положение по закону экпоненциального затухания. Причем, чем меньше $k$, тем меньше отклонение центра тяжести на первом этапе движения, и тем больше характерное время возвращения на втором этапе. При стремлении $k$ к нулю, максимальное отклонение центра тяжести на первом этапе движения стремится к нулю, а характерное время возвращения на втором этапе стремится к бесконечности.

(Оффтоп)

arseniiv в сообщении #348688 писал(а):
Issam в сообщении #348641 писал(а):
Однако, типа, парадокс! :wink:
Да, вы ещё найдите $\int {x^a dx}$ и только потом подставьте $a = -1$. Парадокс! :shock:

Парадокс. Который, на мой взгляд, разрешается следующим образом.
Hack attempt!
где, однако, $C$ — не константа, а произвольная функция $a$: $C=C(a)$, поскольку $\int x^a \,\mathrm{d}x$ — решение уравнения $\frac{\partial}{\partial x} f(x,a) = x^a$ для функции двух переменных $f(x,a)$.

Чтобы вычислить предел $x^{a+1}/(a+1)+C(a)$ при стремлении $a$ к -1, из всех возможных функций $C(a)$ нужно выбрать такие, чтобы предел получился конечным. В качестве таких функций подходят функции вида
$$
C(a)=-\dfrac{1}{a+1}+C'
,
$$
где $C'$ — произвольная постоянная. Таким образом, получаем
$$
\lim_{a\to-1}\int x^a \,\mathrm{d}x
=
\lim_{a\to-1}\left(\dfrac{x^{a+1}}{a+1}-\dfrac{1}{a+1}+C'\right)
=
$$
$$
=
\lim_{a\to-1}\left(\dfrac{\ln x x^{a+1}}{1}+C'\right)
=
\ln x + C'
.
$$

Отмечу, что все это можно проделывать только для $x>0$, поскольку для $x<0$ $x^a$ не определено при произвольных отрицательных $a$.

 Профиль  
                  
 
 Re: лодка
Сообщение05.09.2010, 15:03 
Аватара пользователя


01/12/09
56
aka Snowman
arseniiv в сообщении #348688 писал(а):
Issam в сообщении #348641 писал(а):
Однако, типа, парадокс! :wink:
Да, вы ещё найдите $\int {x^a dx}$ и только потом подставьте $a = -1$. Парадокс! :shock:

Это теперь новая мода? -- вместо рассмотрения конкретного вопроса предлагать другой и считать это ответом на вопрос? :)


Александр Т. в сообщении #349573 писал(а):
характерное время возвращения на втором этапе стремится к бесконечности

Ага :)
Т.е. формально возвращается на прежнее место, но время возвращения -- бесконечное.
Или, если совсем кратко, то -- никогда.

 Профиль  
                  
 
 Re: лодка
Сообщение05.09.2010, 15:36 
Заслуженный участник


11/05/08
32166
Александр Т. в сообщении #349573 писал(а):
Который, на мой взгляд, разрешается следующим образом.
Hack attempt!
где, однако, $C$ — не константа, а произвольная функция $a$: $C=C(a)$, поскольку $\int x^a \,\mathrm{d}x$ — решение уравнения $\frac{\partial}{\partial x} f(x,a) = x^a$ для функции двух переменных $f(x,a)$.

Чтобы вычислить предел $x^{a+1}/(a+1)+C(a)$ при стремлении $a$ к -1, из всех возможных функций $C(a)$ нужно выбрать такие, чтобы предел получился конечным.

И неубедительно, и как-то шибко заковыристо. Всё гораздо тривиальнее: для каждого $x$ $$\int\limits_1^xt^adt=\dfrac{x^{a+1}-1}{a+1}\ \mathop{\sim}\limits_{a\to-1}\ \dfrac{(x^{a+1}-1)'_a}{(a+1)'_a}=\ln x\cdot x^{a+1}\ \mathop{\longrightarrow}\limits_{a\to-1}\ \ln x\,,$$ вот и всё.

 Профиль  
                  
 
 Re: лодка
Сообщение05.09.2010, 17:32 


06/12/06
347

(Оффтоп)

ewert в сообщении #349862 писал(а):
Александр Т. в сообщении #349573 писал(а):
Чтобы вычислить предел $x^{a+1}/(a+1)+C(a)$ при стремлении $a$ к -1, из всех возможных функций $C(a)$ нужно выбрать такие, чтобы предел получился конечным.

И неубедительно, и как-то шибко заковыристо. Всё гораздо тривиальнее: для каждого $x$ $$\int\limits_1^xt^adt=\dfrac{x^{a+1}-1}{a+1}\ \mathop{\sim}\limits_{a\to-1}\ \dfrac{(x^{a+1}-1)'_a}{(a+1)'_a}=\ln x\cdot x^{a+1}\ \mathop{\longrightarrow}\limits_{a\to-1}\ \ln x\,,$$ вот и всё.
Не помню уж, то ли я сознательно себя ограничил, то ли просто не догадался, но при объяснении парадокса я старался работать только с понятием неопреденного интеграла, поэтому и не использовал его связь с определенным интегралом. И объяснение, которое получилось при таком подходе мне и самому не очень-то понравилось. Я взялся за это объяснение, потому что помнил, что у меня часто на полном автомате получался логарифм из степени при таком предельном переходе. Наверное, это все-таки всегда было с определенными интегралами. Ну а когда начал писать эту часть своего сообщения, увидел, что на автомате не получается. Пришлось что-то быстро придумывать.

В общем, считаю целесообразным признать, что если записать неопределенный интеграл через определенный, а затем уже вычислить предел, то объяснение будет и короче и убедительнее.

 Профиль  
                  
 
 Re: лодка
Сообщение06.09.2010, 18:51 


20/04/09
1067
Issam в сообщении #348641 писал(а):
Тут интересно то, что ответ не зависит от коэффициента k. Т.е. подставим значение k=0 (или устремим) -- и никаких проблем! Так?

А вот если решать эту задачу, изначально положив k=0, то ответ для смещения лодки получится НЕ нулевым.
Для этого достаточно заметить, что центр масс остается на месте.

*******
Однако, типа, парадокс! :wink:


теорема о непрерывной зависимости решения ОДУ от параметра устанавливает что решение непрерывно зависит от параметра на конечном промежутке времени, в случае $t\to \infty$ общих правил нет

 Профиль  
                  
 
 Re: лодка
Сообщение07.09.2010, 09:33 
Аватара пользователя


01/12/09
56
aka Snowman
terminator-II в сообщении #350128 писал(а):
теорема о непрерывной зависимости решения ОДУ от параметра устанавливает что решение непрерывно зависит от параметра на конечном промежутке времени, в случае $t\to \infty$ общих правил нет

Читайте внимательнее.
Вопрос был поставлен про коэффициент вязкого трения k, и устремлении его к нулю.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 22 ]  На страницу 1, 2  След.

Модераторы: photon, whiterussian, profrotter, Jnrty, Aer, Парджеттер, Eule_A, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: Mikhail_K


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group