2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




Начать новую тему Ответить на тему На страницу 1, 2  След.
 
 лодка
Сообщение20.04.2010, 18:59 


20/04/09
1067
В неподвижной воде находится лодка. На носу лодки стоит человек. Человек переходит с носа лодки на ее корму и останавливается. Модуль силы сопротивления, дейстующей на лодку со стороны воды, пропорционален модулю скорости лодки. Доказать, что при $t\to +\infty$ лодка вернется в исходное положение.

 Профиль  
                  
 
 Re: лодка
Сообщение20.04.2010, 20:05 
Заслуженный участник


13/12/05
4518
Пусть $u=u(t)$ - расстояние от человека до носа лодки в момент времени $t$, $x=x(t)$ - координата носа лодки. Тогда получаем дифференциальное уравнение движения лодки
$$
M\ddot x = m(\ddot u - \ddot x)-k\dot x\, ,
$$
где $M$ - масса лодки, $m$ - масса человека, $k$ - коэффициент трения об воду.
Перепишем уравнение
$$
(M+m)\ddot x+k\dot x=m\ddot u
$$
Проинтегрируем по $t$ от $0$ до $+\infty$.
Получим
$$
(M+m)(\dot x(+\infty)-\dot x(0))+k(x(+\infty)-x(0))=m(\dot u(+\infty)-\dot u(0))
$$
По-моему очевидно, что $\dot x(+\infty)=0$. Поэтому
$$
x(+\infty)-x(0)=0
$$

 Профиль  
                  
 
 Re: лодка
Сообщение20.04.2010, 20:09 


20/04/09
1067
Товарисч, не для Вас выложено! :evil:

Padawan в сообщении #311494 писал(а):
По-моему очевидно, что $\dot x(+\infty)=0$

тут пробел, формально говоря.

 Профиль  
                  
 
 Re: лодка
Сообщение20.04.2010, 20:19 
Заслуженный участник


13/12/05
4518
Извиняюсь :-) Просто я сначала не поверил, а потом понял, что в момент остановки человека лодка назад поедет.

 Профиль  
                  
 
 Re: лодка
Сообщение21.04.2010, 10:52 
Заслуженный участник


11/05/08
32166
terminator-II в сообщении #311496 писал(а):
тут пробел, формально говоря.

Лишь формально и лишь для математиков. Физикам же очевидно, что все скорости на бесконечности будут нулевыми. А математикам да, ещё придётся доказывать, что $e^{-\alpha t}\to0$ при $t\to+\infty$.

Padawan в сообщении #311502 писал(а):
Просто я сначала не поверил,

Я тоже. Факт и впрямь выглядит на первый взгляд невероятным. А на второй -- уже очевидным.

(А невероятным он выглядит потому, что в отсутствие трения он очевидно неверен.)

 Профиль  
                  
 
 Re: лодка
Сообщение21.04.2010, 19:39 


20/04/09
1067
ewert
Я этой задачей студентов потчую. Она для Вас очевидна. Очень хорошо. Запишите себе это в актив. Ну как дети малые чсна слово.

 Профиль  
                  
 
 Re: лодка
Сообщение22.04.2010, 08:21 
Заслуженный участник


11/05/08
32166
terminator-II в сообщении #311849 писал(а):
Она для Вас очевидна.

Только на второй взгляд.

Задачка хорошая. Но равенство нулю предельной скорости -- всё-таки тривиально. Со всех точек зрения.

 Профиль  
                  
 
 Re: лодка
Сообщение31.08.2010, 15:04 
Аватара пользователя


01/12/09
56
aka Snowman
terminator-II в сообщении #311472 писал(а):
Модуль силы сопротивления, дейстующей на лодку со стороны воды, пропорционален модулю скорости лодки.


Padawan в сообщении #311494 писал(а):
$k$ - коэффициент трения об воду


Тут интересно то, что ответ не зависит от коэффициента k. Т.е. подставим значение k=0 (или устремим) -- и никаких проблем! Так?

А вот если решать эту задачу, изначально положив k=0, то ответ для смещения лодки получится НЕ нулевым.
Для этого достаточно заметить, что центр масс остается на месте.

*******
Однако, типа, парадокс! :wink:

 Профиль  
                  
 
 Re: лодка
Сообщение31.08.2010, 17:52 
Заслуженный участник


27/04/09
28128
Issam в сообщении #348641 писал(а):
Однако, типа, парадокс! :wink:
Да, вы ещё найдите $\int {x^a dx}$ и только потом подставьте $a = -1$. Парадокс! :shock:

 Профиль  
                  
 
 Re: лодка
Сообщение04.09.2010, 16:26 


06/12/06
347
Issam в сообщении #348641 писал(а):
Тут интересно то, что ответ не зависит от коэффициента k. Т.е. подставим значение k=0 (или устремим) -- и никаких проблем! Так?
Если ответом считать закон движения, то — не совсем, см. ниже.
Цитата:
А вот если решать эту задачу, изначально положив k=0, то ответ для смещения лодки получится НЕ нулевым.
Для этого достаточно заметить, что центр масс остается на месте.

*******
Однако, типа, парадокс! :wink:
Разрешение этого парадокса можно найти, получив решение уравнения для движения лодки, которое Padawan выписал в сообщении #311494
$$
(M+m)\ddot x+k\dot x=m\ddot u
.
$$
Это решение (с учетом того, что $\dot{x}(0)=0$ и координата $x$ выбрана так, чтобы $x(0)=0$) имеет вид
Hack attempt!
Интегрируя по частям, преобразуем его к виду
Hack attempt!
Из первого соотношения очевидно следует, что $x(t)\to0$ при $t\to+\infty$. Из второго настолько же очевидно следует, что при $k=0$ центр тяжести лодки с человеком остается неподвижным.

Второе соотношение позволяет также увидеть, как будет двигаться лодка при достаточно малых $k\neq0$. А именно, от начала движения человека до его остановки лодка движется так, что центр тяжести лодки с человеком мало отклоняется от своего первоначального положения, а затем лодка возвращается в свое первоначальное положение по закону экпоненциального затухания. Причем, чем меньше $k$, тем меньше отклонение центра тяжести на первом этапе движения, и тем больше характерное время возвращения на втором этапе. При стремлении $k$ к нулю, максимальное отклонение центра тяжести на первом этапе движения стремится к нулю, а характерное время возвращения на втором этапе стремится к бесконечности.

(Оффтоп)

arseniiv в сообщении #348688 писал(а):
Issam в сообщении #348641 писал(а):
Однако, типа, парадокс! :wink:
Да, вы ещё найдите $\int {x^a dx}$ и только потом подставьте $a = -1$. Парадокс! :shock:

Парадокс. Который, на мой взгляд, разрешается следующим образом.
Hack attempt!
где, однако, $C$ — не константа, а произвольная функция $a$: $C=C(a)$, поскольку $\int x^a \,\mathrm{d}x$ — решение уравнения $\frac{\partial}{\partial x} f(x,a) = x^a$ для функции двух переменных $f(x,a)$.

Чтобы вычислить предел $x^{a+1}/(a+1)+C(a)$ при стремлении $a$ к -1, из всех возможных функций $C(a)$ нужно выбрать такие, чтобы предел получился конечным. В качестве таких функций подходят функции вида
$$
C(a)=-\dfrac{1}{a+1}+C'
,
$$
где $C'$ — произвольная постоянная. Таким образом, получаем
$$
\lim_{a\to-1}\int x^a \,\mathrm{d}x
=
\lim_{a\to-1}\left(\dfrac{x^{a+1}}{a+1}-\dfrac{1}{a+1}+C'\right)
=
$$
$$
=
\lim_{a\to-1}\left(\dfrac{\ln x x^{a+1}}{1}+C'\right)
=
\ln x + C'
.
$$

Отмечу, что все это можно проделывать только для $x>0$, поскольку для $x<0$ $x^a$ не определено при произвольных отрицательных $a$.

 Профиль  
                  
 
 Re: лодка
Сообщение05.09.2010, 15:03 
Аватара пользователя


01/12/09
56
aka Snowman
arseniiv в сообщении #348688 писал(а):
Issam в сообщении #348641 писал(а):
Однако, типа, парадокс! :wink:
Да, вы ещё найдите $\int {x^a dx}$ и только потом подставьте $a = -1$. Парадокс! :shock:

Это теперь новая мода? -- вместо рассмотрения конкретного вопроса предлагать другой и считать это ответом на вопрос? :)


Александр Т. в сообщении #349573 писал(а):
характерное время возвращения на втором этапе стремится к бесконечности

Ага :)
Т.е. формально возвращается на прежнее место, но время возвращения -- бесконечное.
Или, если совсем кратко, то -- никогда.

 Профиль  
                  
 
 Re: лодка
Сообщение05.09.2010, 15:36 
Заслуженный участник


11/05/08
32166
Александр Т. в сообщении #349573 писал(а):
Который, на мой взгляд, разрешается следующим образом.
Hack attempt!
где, однако, $C$ — не константа, а произвольная функция $a$: $C=C(a)$, поскольку $\int x^a \,\mathrm{d}x$ — решение уравнения $\frac{\partial}{\partial x} f(x,a) = x^a$ для функции двух переменных $f(x,a)$.

Чтобы вычислить предел $x^{a+1}/(a+1)+C(a)$ при стремлении $a$ к -1, из всех возможных функций $C(a)$ нужно выбрать такие, чтобы предел получился конечным.

И неубедительно, и как-то шибко заковыристо. Всё гораздо тривиальнее: для каждого $x$ $$\int\limits_1^xt^adt=\dfrac{x^{a+1}-1}{a+1}\ \mathop{\sim}\limits_{a\to-1}\ \dfrac{(x^{a+1}-1)'_a}{(a+1)'_a}=\ln x\cdot x^{a+1}\ \mathop{\longrightarrow}\limits_{a\to-1}\ \ln x\,,$$ вот и всё.

 Профиль  
                  
 
 Re: лодка
Сообщение05.09.2010, 17:32 


06/12/06
347

(Оффтоп)

ewert в сообщении #349862 писал(а):
Александр Т. в сообщении #349573 писал(а):
Чтобы вычислить предел $x^{a+1}/(a+1)+C(a)$ при стремлении $a$ к -1, из всех возможных функций $C(a)$ нужно выбрать такие, чтобы предел получился конечным.

И неубедительно, и как-то шибко заковыристо. Всё гораздо тривиальнее: для каждого $x$ $$\int\limits_1^xt^adt=\dfrac{x^{a+1}-1}{a+1}\ \mathop{\sim}\limits_{a\to-1}\ \dfrac{(x^{a+1}-1)'_a}{(a+1)'_a}=\ln x\cdot x^{a+1}\ \mathop{\longrightarrow}\limits_{a\to-1}\ \ln x\,,$$ вот и всё.
Не помню уж, то ли я сознательно себя ограничил, то ли просто не догадался, но при объяснении парадокса я старался работать только с понятием неопреденного интеграла, поэтому и не использовал его связь с определенным интегралом. И объяснение, которое получилось при таком подходе мне и самому не очень-то понравилось. Я взялся за это объяснение, потому что помнил, что у меня часто на полном автомате получался логарифм из степени при таком предельном переходе. Наверное, это все-таки всегда было с определенными интегралами. Ну а когда начал писать эту часть своего сообщения, увидел, что на автомате не получается. Пришлось что-то быстро придумывать.

В общем, считаю целесообразным признать, что если записать неопределенный интеграл через определенный, а затем уже вычислить предел, то объяснение будет и короче и убедительнее.

 Профиль  
                  
 
 Re: лодка
Сообщение06.09.2010, 18:51 


20/04/09
1067
Issam в сообщении #348641 писал(а):
Тут интересно то, что ответ не зависит от коэффициента k. Т.е. подставим значение k=0 (или устремим) -- и никаких проблем! Так?

А вот если решать эту задачу, изначально положив k=0, то ответ для смещения лодки получится НЕ нулевым.
Для этого достаточно заметить, что центр масс остается на месте.

*******
Однако, типа, парадокс! :wink:


теорема о непрерывной зависимости решения ОДУ от параметра устанавливает что решение непрерывно зависит от параметра на конечном промежутке времени, в случае $t\to \infty$ общих правил нет

 Профиль  
                  
 
 Re: лодка
Сообщение07.09.2010, 09:33 
Аватара пользователя


01/12/09
56
aka Snowman
terminator-II в сообщении #350128 писал(а):
теорема о непрерывной зависимости решения ОДУ от параметра устанавливает что решение непрерывно зависит от параметра на конечном промежутке времени, в случае $t\to \infty$ общих правил нет

Читайте внимательнее.
Вопрос был поставлен про коэффициент вязкого трения k, и устремлении его к нулю.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 22 ]  На страницу 1, 2  След.

Модераторы: photon, whiterussian, profrotter, Jnrty, Aer, Парджеттер, Eule_A, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group