По мотивам Литлвуда

[Dandan]

epros в сообщении #348805 писал(а):

Знаете что мне напомнила эта задача? Задачу про бесконечную коробку, в которую на каждом шаге ангел кладёт 10 шаров с последовательными номерами (1-10, потом 11-20, потом 21-30...), а чёртик сразу после этого вынимает один шар с очередным номером (1, потом 2, потом 3...). Первый шаг делается за час до полудня, второй - за полчаса, третий за 1/3 часа, четвёртый - за 1/4 и т.д. Вопрос заключается в том, что будет находиться в коробке в полдень. Логически правильный ответ таков: коробка будет пуста.

Логически правильный ответ - "правильного ответа" нет. Это все равно, что спрашивать чему равна сумма ряда 1-1+1-1+1-1+... Эта сумма не определена.

Jnrty:

В эту тему включено относящееся к ней обсуждение из темы "Задача о двух конвертах с геометрическим распределением".

[epros]

(Оффтоп)

Dandan в сообщении #348809 писал(а):

Логически правильный ответ - "правильного ответа" нет. Это все равно, что спрашивать чему равна сумма ряда 1-1+1-1+1-1+... Эта сумма не определена.

Это задача из теории множеств, которая здесь неоднократно обсуждалась. В такой формулировке (с номерами), верно следующее утверждение: "Любой положенный шар будет вынут до полудня".

[Dandan]

это смотря какую вы матмодель привяжете к этой задаче. Без какой либо привязки, для меня также абсолютно логично, что чем ближе мы к полудню, тем больше шариков в коробке.

-- Ср сен 01, 2010 09:00:00 --

лан, в любом случае лучше эту задачу обсуждать в соотв. теме topic13643.html

[epros]

Andrey Lukyanov в сообщении #348881 писал(а):

Если Вы решите задачу с одним шариком, то сразу станет ясно, как решать задачу с десятью.

Вы зря изменили условия. Переписывание номеров - не относящийся к сути трюк. В задаче кладутся и вынимаются шары, а номера нужны лишь для того, чтобы понять какие именно шары кладутся и вынимаются.

[Andrey Lukyanov]

epros в сообщении #348887 писал(а):

Вы зря изменили условия. Переписывание номеров - не относящийся к сути трюк. В задаче кладутся и вынимаются шары, а номера нужны лишь для того, чтобы понять какие именно шары кладутся и вынимаются.

Если Вам не нравится переписывание номеров, тогда как Вам такой вариант:

В начале в коробке лежит один шар с номером 1. На каждом шаге добавляется один шар с очередным номером и сразу же удаляется шар с текущим минимальным номером. Сколько шаров будет в коробке в полдень?

[a ^ a]

Что Вы, так нельзя !
Вы неправильно сузили условия задачи Литлвуда. Они допускают только теоретико-множественное толкование. Я продемонстрирую на примере графов.
Даны два локально конечных, бесконечных графа (орграфа) с сингулярностями: $G_a, G_b$.
Вершины графов - это шары (можно даже раскрасить их в разные цвета). Ребра(дуги) определяют отношение следования. Ни в коем случае нельзя строить ребра $(\omega_a,b_1)$ и $(\omega_b,a_1)$ !

Это же противоречит теоретико-множественной подгонке неформальных условий задачи Литлвуда. До сих пор не пойму, зачем он сформулировал их словестно ? Неужели не для того, чтобы студенты научились, не думая, подгонять подобные неформальные задачки под аксиоматику ТМ ? Ведь эти ДВА , хоть и гомеоморфных графа, согласно ТМ, являются одним и тем же множеством. Шары - могут быть исключительно множествами ! Вершинами графов и т.п. они быть не могут, это запрещено. А даже если предположить сие невероятное, в лучшем случае разрешается строить графы только с одним ребром: либо $(b_1,\omega_a)$ либо $(a_1,\omega_b)$, и то при условии, что $a_1,b_1$ не равны $\{\}$. Так что, даже если они(шары, вершины) занумерованы числами из $\mathbb{N}$, ни в коем случае нельзя интерпретировать условия задачи Литлвуда, как я продемонстрировал. Занумеровывать можно только множества! Иное, в конце концов, просто опасно, для Вашей репутации.

[Andrey Lukyanov]

a ^ a в сообщении #348943 писал(а):

Что Вы, так нельзя !

Я ничего не понял в Ваших графах.

Возьмём вариант задачи, где на каждом шаге один шар добавляется, и один шар убирается. Если использовать то же рассуждение, которое Вы используете в задаче с 10 шарами, то любой шар в конце концов будет удалён, и в полдень там не останется ни одного шара.

Так или не так?

[epros]

Andrey Lukyanov в сообщении #349089 писал(а):

Возьмём вариант задачи, где на каждом шаге один шар добавляется, и один шар убирается. Если использовать то же рассуждение, которое Вы используете в задаче с 10 шарами, то любой шар в конце концов будет удалён, и в полдень там не останется ни одного шара.

Так или не так?

Так.

[Andrey Lukyanov]

epros в сообщении #349093 писал(а):

Так.

Но ведь задача с заменой шаров и задача с перерисовкой номеров — это одна и та же задача. Значит, и ответ должен быть одним и тем же.

На каждом шаге происходит одно и то же — был шар с номером n, стал шар с номером n+1. Меняются шары или перекрашиваются — это лирика, не имеющая отношения к математической сути. Ведь шары у нас не отличаются ничем, кроме номера. Т. е. на любом шаге содержимое коробки и в той, и в другой задаче идентично.

[epros]

Andrey Lukyanov в сообщении #349102 писал(а):

Но ведь задача с заменой шаров и задача с перерисовкой номеров — это одна и та же задача.

Нет, разные.

Andrey Lukyanov в сообщении #349102 писал(а):

Меняются шары или перекрашиваются — это лирика, не имеющая отношения к математической сути.

Нет, это - разница в формулировках, имеющая отношение к математической формализации. А вот подразумеваемая Вами "суть" - это как раз та самая лирика, которая не имеет отношения к математике.

Andrey Lukyanov в сообщении #349102 писал(а):

Ведь шары у нас не отличаются ничем, кроме номера.

Это пофиг чем они отличаются. Согласно формулировкам задач в одном случае речь идёт о разных шарах, а в другом - об одном шаре, который никогда не вынимается из коробки. С точки зрения теории множеств разница принципиальна - идёт ли речь о разных элементах или об одном.

[Andrey Lukyanov]

epros в сообщении #349112 писал(а):

Это пофиг чем они отличаются. Согласно формулировкам задач в одном случае речь идёт о разных шарах, а в другом - об одном шаре, который никогда не вынимается из коробки. С точки зрения теории множеств разница принципиальна - идёт ли речь о разных элементах или об одном.

Ну тогда давайте такой вариант:

Пусть в коробке лежит два шара, на каждом из которых написано "1". На очередном шаге на одном из произвольно выбранных шаров мы переправляем номер на следующий, а другой шар выкидываем и вместо него добавляем шар с номером на единицу больше.

Что будет в коробке в полдень?

[epros]

Andrey Lukyanov в сообщении #349121 писал(а):

Пусть в коробке лежит два шара, на каждом из которых написано "1". На очередном шаге на одном из произвольно выбранных шаров мы переправляем номер на следующий, а другой шар выкидываем и вместо него добавляем шар с номером на единицу больше.

Что будет в коробке в полдень?

Неизвестно. Теоретико-множественная задача однозначно не определена, ибо непонятно что такое "произвольный" выбор.

[Andrey Lukyanov]

epros в сообщении #349124 писал(а):

Неизвестно. Теоретико-множественная задача однозначно не определена, ибо непонятно что такое "произвольный" выбор.

Хорошо, тогда два варианта:

1) Всегда перекрашиваем тот, который слева.

2) На нечётном шаге перекрашиваем тот, который слева, а на чётном тот, который справа.

Другой шар, соответственно, заменяем. Предполагаем, что изначально один шар лежит слева, другой справа.

[Andrey Lukyanov]

У нас есть два магазина (типа как у автомата, из которого стреляют). Ну или два стека, как в программировании. Оба бесконечной ёмкости.

В первом магазине находятся пронумерованные шары: наверху номер 1, под ним номер 2 и т. д. до бесконечности. Второй магазин пустой.

За одну минуту до полудня из первого магазина вынимается один шар и запихивается во второй магазин.

За 1/2 минуты до полудня операция повторяется.

За 1/3 минуты до полудня операция повторяется.

И т. д.

Каков будет номер шара наверху второго магазина в полдень?

[ShMaxG]

Для любого шара известно, что он первым не будет (но рано или поздно окажется в магазине). Значит -- никакой.