Распределение степеней натуральных чисел.

[gris]

Вопрос возник по мотивам утвердения Null, что 41 нельзя представить в виде разности целых (даже натуральных с нулём) степеней двойки и тройки (если я правильно понял).

Мне кажется достаточно очевидным, что вероятность встретить на интервале длины $L$ натуральную больше двух степень натурального числа стремится к нулю с удалением этого интервала в бесконечность. Или нет?

А вот как насчёт сближения степеней различных взаимнопростых чисел? Ну или вообще простых. Есть ли теоремы о возможном расстоянии между членами множеств $\{k^i|i\in \mathbb N\}$ и $\{m^i|i\in \mathbb N\}$ при заданных $k$ и $m$?

PS. Совсем недавно обсуждалось подобное, вот поспешил спрашивать.

[Sonic86]

Я знаю, что сходится ряд Гольдбаха из степеней натуральных чисел (Фихтенгольц)
И еще, что уравнения вида $a^m-b^n=1$ для заданных $a,b$ имеют обычно конечное число решений (периодически такие задачи здесь попадаются).

[Null]

Есть утверждение(доказанное), что $\forall a,b \exists d,x_0: gcd(x_0,a)=gcd(x_0,b)=1,\forall m,n:|a^m-b^n|-x_0$ не делится(как в техе будет?) на d

[gris]

Вот у меня крутится такое соображение: для каждого натурального радиуса начиная с некоторого числа вокруг каждой степени образуется "вакуум" этого радиуса, где никакая другая целая степень (кроме первой, естественно) никакого другого натурального числа не встречается.
Наверняка это звон, который я слышал не знаю где. Каталан?

[AKM]

Null в сообщении #348851 писал(а):

... не делится (как в техе будет?)...

$a\mid b$, $c\nmid b$ --- это оно?
Есть также маленькие --- \shortmid, \nshortmid.

[Null]

Это делит, не делит.
Видел олимпиадную задачу: доказать что $|2^n-3^m|<C$ имеет конечное решение в натуральных числах. Должно как то школьными методами доказываться.

[gris]

Насчёт знака деленияhttp://dxdy.ru/topic3699.html

Да, вот что-то вроде этой задачи, только для произвольных оснований я и имел в виду.

[RIP]

gris в сообщении #348846 писал(а):

А вот как насчёт сближения степеней различных взаимнопростых чисел? Ну или вообще простых. Есть ли теоремы о возможном расстоянии между членами множеств $\{k^i|i\in \mathbb N\}$ и $\{m^i|i\in \mathbb N\}$ при заданных $k$ и $m$?

Поскольку $|k^i-m^j|=m^j|k^im^{-j}-1|$, то вопрос сводится к оценке снизу величины $|k^im^{-j}-1|$ или $|i\log k-j\log m|$. Этим занимается наука об оценке линейных форм от логарифмов алгебраических чисел. Насколько мне известно, наилучшие на сегодня оценки для двух логарифмов содержатся в http://dx.doi.org/10.1006/jnth.1995.1141. Если я правильно помню, то оценка имеет вид типа $|k^im^{-j}-1|>H^{-C\log k\cdot\log m}$, где $H=\max\{i,j,2\}$, $C$ - некоторая постоянная (я предполагаю, что $k\ge 2,m\ge2,i,j$ --- натуральные числа, $k^i\ne m^j$).

[Null]

Пусть k>m, тогда i<j(обычно). И пусть $k^i \sim m^j$
Из этой оценки следует $|k^i-m^j|>m^j j^{-C \log{k} \log{m}}=m^{j-C \log{k}\log{j}}>m^j {\log{(m^j)}}^{-C_1} . $
При фиксированном k,m это быстро стремиться к бесконечности.

[gris]

Спасибо, вроде бы понял что-то.
Очень жаль. Простые числа, по-видимому, образуют пары и на бесконечности, а степени не могут сблизиться. Интересно, если взять большой интервал, то чего в нём будет больше - простых чисел или степеней (ясно каких)?

[Sonic86]

gris писал(а):

Интересно, если взять большой интервал, то чего в нём будет больше - простых чисел или степеней (ясно каких)?

Ну если промежуток $(a;b]$, то простых там $\pi (b) - \pi (a)$, где $\pi (x) \sim \frac{x}{\ln x}$. Обозначим $w(n) = |\{ x: x \leq n, x = a^b, b>1\}|$, тогда видно, что $w(n) \leq [n^{\frac{1}{2}}-1]+[n^{\frac{1}{3}}-1]+... \sim \sqrt{n}$, что медленнее, чем $\pi (x)$, соотв., их и в интервале будет меньше.

[maxal]

Sonic86 в сообщении #348850 писал(а):

И еще, что уравнения вида $a^m-b^n=1$ для заданных $a,b$ имеют обычно конечное число решений (периодически такие задачи здесь попадаются).

Решение у $a^m-b^n=1$ при $m,n>1$ только одно: $3^2-2^3=1$. Это знаменитая гипотеза Каталана (ныне доказанная).