Задачи из номера 14
"Математического Просвещения". См. также задачи из номеров
10,
11,
12 и
13.
1. (А. Я. Белов) Дано бесконечное периодическое слово минимального периода

и два его одинаковых подслова длины

. Доказать, что их начальные буквы находятся на расстоянии кратном

.
2. (В. И. Арнольд) Найти предел:
Обсуждение: topic5462.html3. (Фольклор) Бесконечное множество точек на плоскости таково, что все попарные расстояния целые. Докажите, что все точки лежат на одной прямой. А что если все попарные расстояния рациональны?
Обсуждение: topic8304.html4. (И. Никокошев) Докажите, что при любых натуральных

выполняется тождество:
5. (А. Я. Белов) Бесконечно Мудрый Таракан живёт на плоскости. Он близорук и потому видит Истину, только когда находится не более, чем в одном шаге от неё. Первоначально Таракан находится в

шагах от Истины. Когда Таракан делает шаг, друзья говорят говорят ему, приблизился он к Истине, или нет.
а) Докажите, что, пользуясь этой и только этой информацией, Таракан может достичь Истины менее чем за

шагов.
б) Докажите, что не существует алгоритма, позволяющего достичь Истины менее чем за

шагов.
6. (Фольклор) 
-- бесконечно дифференцируемая функция от двух переменных с локальным минимумом в нуле. Других критических точек у ней нет. Верно ли, что этот минимум глобальный? (Точка называется
критической, если в ней обе частные производные

и

обращаются в нуль.)
7. (Н. И. Белухов) Пусть
-- натуральное число. Докажите, что в
-ичной системе счисления существует число, равное определителю
матрицы, составленной из цифр этого числа и их циклических перестановок. Пусть

-- натуральное число. Докажите, что для каждого нечётного делителя

числа

в

-ичной системе счисления существует

-значное число, равное определителю

матрицы, составленной из цифр этого числа и их циклических перестановок. Например, в десятичной системе счисления (

) для

и

такими числами являются:

или
8. (Ф. Ивлев) Дан

.

-- точки касания сторон

с вписанной окружностью соответственно.

-- середины сторон. Обозначим точку пересечения прямых

и

через

. Аналогично определяются точки

и

. Докажите, что прямые

,

и

пересекаются в
точке Фейербаха.
9. (Фольклор) Докажите, что при
игре «Жизнь» а) в квадрате

;
б) на бесконечной плоскости; найдётся конфигурация без прообраза.
10. (С. В. Конягин) Докажите, что существует такое

, что

делится на

.
11. (Б. П. Панеях) Известно, что если зафиксировать одну переменную, то функция

по другой будет многочленом. Верно ли, что она будет сама многочленом от двух переменных?
Обсуждение: topic5072.html 12. (А. Я. Канель, М. Б. Скопенков) По некоторым рёбрам клеток плоской решётки проведены перегородки. Пьяница с равной вероятностью идёт из квадрата, где он находится, в любой соседний квадрат, куда он может пройти. Докажите, что он с вероятностью 1 вернётся в исходную точку.