Число Е через бесконечное произведение

[Garik2]

Бесконечность стоит в формуле (см. k=1..infinity), а 55 - это количество знаков, которое я желаю распечатать. Мог бы и 1000 знаков заказать, но жаль электронной бумаги.

[juna]

Это не доказательство. Но если так хотите эксперимента, вот он еще раз (используется maxima):

(%i17) k:500$d:k$for i:1 thru k-3 do block[d:k-i-(k-1-i)/d]$fpprec:1000$bfloat(1+1/(1-1/d));
(%o21) 2.718281828459045235360287471352662497757247093699959574966967627724076\
630353547594571382178525166427427466391932003059921817413596629043572900334295\
260595630738132328627943490763233829880753195251019011573834187930702154089149\
934884167509244761460668082264800168477411853742345442437107539077744992069551\
702761838606261331384583000752044933826560297606737113200709328709127443747047\
230696977209310141692836819025515108657463772111252389784425056953696770785449\
969967946864454905987931636889230098793127736178215424999229576351482208269895\
193668033182528869398496465105820939239829488793320362509443117301238197068416\
140397019837679320683282376464804295311802328782509819455815301756717361332069\
811250996181881593041690351598888519345807273866738589422879228499892086805825\
749279610484198444363463244968487560233624827041978623209002160990235304369941\
849146314093431738143640546253152096183690888707016768396424378140592714563549\
061303107208510383750510115747704171898610687396965521267154688957035035b0

(%i11) bfloat(%e);
(%o11) 2.718281828459045235360287471352662497757247093699959574966967627724076\
630353547594571382178525166427427466391932003059921817413596629043572900334295\
260595630738132328627943490763233829880753195251019011573834187930702154089149\
934884167509244761460668082264800168477411853742345442437107539077744992069551\
702761838606261331384583000752044933826560297606737113200709328709127443747047\
230696977209310141692836819025515108657463772111252389784425056953696770785449\
969967946864454905987931636889230098793127736178215424999229576351482208269895\
193668033182528869398496465105820939239829488793320362509443117301238197068416\
140397019837679320683282376464804295311802328782509819455815301756717361332069\
811250996181881593041690351598888519345807273866738589422879228499892086805825\
749279610484198444363463244968487560233624827041978623209002160990235304369941\
849146314093431738143640546253152096183690888707016768396424378140592714563549\
061303107208510383750510115747704171898610687396965521267154688957035035b0

Как видите, чтобы получить точность в 1000 знаков, можно взять 500 членов этой цепной дроби.

[Garik2]

По поводу решений juna - вопрос полностью снимается. Если, конечно, применена именно та цепная дробь, в которой я засомневался.

[Paganel]

Комментируя первый пост. Тут кагбе

$\prod _{k=1}^n\left (\frac {2k}{2k-1}\right)^{2}{\left [{\frac { \left( 2\,k-1 \right) \left( k+1 \right) }{k \left( 2\,k+1 \right) }}\right]}^{2\,k} = A_n B_n,$

где

$A_n=\prod _{k=1}^n \frac {(2k-1)^{2k-2}}{(2k+1)^{2k}} = \frac {1}{(2n+1)^{2n}} \quad \textrm{и}\quad B_n=\prod _{k=1}^n \frac {(2k+2)^{2k}}{(2k)^{2k-2}} = (2n+2)^{2n}.$

Ну и $A_n B_n =\left(\frac {2n+2}{2n+1}\right)^{2n}\to e$ при $n\to\infty$. Вот кагбе и все открытие... И мы плавно переходим к изучению второго поста темы.

[Garik2]

Да, это я и сам обнаружил. Но произведение и предел - как бы две разницы в математике. И нет ничего удивительного, что они тождественны, так как определяют одну и ту же константу. Подобных тождеств в математике - пруд пруди.

[arseniiv]

Вообще-то, бесконечное произведение — это тоже предел.

[paha]

Отрыл первую страницу работы Z. A. Melzak, Infinite Products for pi*e and pi/e, Am. Math. Monthly vol. 68 no. 1 (1961) 39-41, в которой доказывается формула

Garik2 в сообщении #344654 писал(а):

В справочнике нашел

$\frac {\pi}{2e} = \prod \limits _{k=1}^{\infty } \left( 1+\frac 2 k \right) ^{k \left( -1 \right) ^{k+1}}$

На этой первой странице сказано, что формула выводится из того элементарного факта, что

$$ \lim\limits_n\frac{{\rm Vol}\,(D_n)}{{\rm Vol}\,(C_n)}=\sqrt{\frac{\pi e}{2} $$

($D_n$ -- $n$-мерный шар, $C_n$ -- вписанный в него цилиндр максимального объема).

Забавная эквилибристика, конечно.

[Garik2]

"Забавная эквилибристика, конечно".

Точнее - это доказательство непротиворечивости математики. Есть много форм выражения одного и того же решения. Это прекрасно, так как одним нравятся пределы, другим - геометрические представления, третьи являются профессионалами в бесконечных произведениях. Да и задачи встречаются такие, в которых, например, именно бесконечными рядами проще и быстрее достигнуть цели. Поэтому, чем больше формул будет представлено для вычисления того или иного выражения, тем проще будет математику построить и реализовать свою математическую модель. Лично я на себе это положение много раз испытывал и благодарил создателей подробных справочников. Без этого накопленного веками богатства трудно идти вперед.

-- Ср авг 25, 2010 18:23:51 --

arseniiv в сообщении #347142 писал(а):

Вообще-то, бесконечное произведение — это тоже предел.

Это верно. Но порой выражение в форме произведения позволяет более эффективно применять его для своих нужд. Например, в этой теме мне помогла именно формула Валлиса, хотя она признана самой неэффективной в смысле вычисления $e$ с большой точностью. С пределом я так бы легко с подобной задачей не справился бы.

[arseniiv]

Ну да, ряды и произведения удобны тем, что их можно неограниченно "уточнять", вычисляя всё следующие и следующие частичные суммы/произведения, а "частичный предел" надо вычислять для каждого приближения отдельно.

[Garik2]

Вот только что пришла в голову мысль: а можно ли вывести реккурентную формулу, приводящую к числу $e$ ? Как вообще создаются реккурентные формулы?

[BoBuk]

Garik2 в сообщении #345813 писал(а):

Может, эта альфа через ПИ и Е как раз вычисляется?
Ведь примерно $137 = \left (\frac {\pi}{e} \right )^{34}$

Формула должна быть красивой. Все эти двузначные натуральные числа в выражениях не внушают доверия.
Наиболее "подозрительная" для "альфы" формула$ -ln(cos(1/\alpha))$

[arseniiv]

BoBuk, как у вас получилось отыскать $\cos \frac 1{\alpha}$? Косинус от примерно $137$!

Garik2 в сообщении #347281 писал(а):

Как вообще создаются реккурентные формулы?

Попробуйте найти функцию, чтобы $f(e) = e$. Тогда, если функция вышла "хорошая", она для определённых чисел будет давать последовательность, сходящуюся как раз к $e$. Точных критериев вот не знаю. Ну и, конечно, в выражении для $f(x)$ не должно быть $e$, а то полученная рекуррентная формула будет бессмысленной.

[Garik2]

BoBuk в сообщении #347417 писал(а):

Формула должна быть красивой. Все эти двузначные натуральные числа в выражениях не внушают доверия.

Тогда 136.64 = $2^4 \pi e$

[arseniiv]

Garik2 в сообщении #347446 писал(а):

Тогда 136.64 = $2^4 \pi e$

Реальное-то $1/\alpha$ от этого сильно отличается.

[Garik2]

Дайте по возможности точное значение - и я подберу что надо :)