Уважаемые математики, объясните как применять на практике признаки сходимости числовых рядов Абеля и Дирихле?
У меня в книге даны такие определения этих признаков:
Признак Абеля. Ряд
![\sum{a_nb_n} \sum{a_nb_n}](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/4/8/6/4865157f063d59247b79736c19c05d9b82.png)
сходится, если сходится ряд
![\sum{a_n} \sum{a_n}](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/7/6/8/768e1facc7a61aa9df73dba392488da382.png)
, а последовательность
![(b_n) (b_n)](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/5/b/4/5b427b08798fa303174aa2ba148bd47882.png)
монотонна и ограничена.
Признак Дирихле. Ряд
![\sum{a_nb_n} \sum{a_nb_n}](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/4/8/6/4865157f063d59247b79736c19c05d9b82.png)
сходится, если последовательность
![(b_n) (b_n)](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/5/b/4/5b427b08798fa303174aa2ba148bd47882.png)
, начиная с некоторого номера, монотонно стремится к нулю, а последовательность частичных сумм ряда
![\sum{a_n} \sum{a_n}](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/7/6/8/768e1facc7a61aa9df73dba392488da382.png)
ограничена.
Плохо понимаю
![:oops: :oops:](./images/smilies/icon_redface.gif)
, что значит "последовательность частичных сумм ряда
![\sum{a_n} \sum{a_n}](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/7/6/8/768e1facc7a61aa9df73dba392488da382.png)
ограничена".
Например, надо исследовать сходимость
![\sum\limits_{n=1}^{\infty}\frac{arctg\,n}{n^2} \sum\limits_{n=1}^{\infty}\frac{arctg\,n}{n^2}](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/b/7/d/b7d018ddba802eaa5fd6767bce36433082.png)
.
Я могу в этом случае утверждать, что данный ряд сходится согласно признаку Абеля, так как
![\sum\limits_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^2} \sum\limits_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^2}](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/4/5/e/45eecbedd02a1c68849ec6ab4fd3116982.png)
сходится, а последовательность
![\{arctg\,n\} \{arctg\,n\}](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/0/3/2/032076bc424b423ebdc4d71aae94586782.png)
ограниченна, так как
![\lim\limits_{n\to+\infty}arctg\,n=\frac{\pi}{2} \lim\limits_{n\to+\infty}arctg\,n=\frac{\pi}{2}](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/9/d/3/9d31c05dfd72b7ae7f76a500030936a982.png)
???
Или, например, такой ряд
![\sum\limits_{n=1}^{\infty}\left(1-\frac{1}{\sqrt{n}}\right)^n \sum\limits_{n=1}^{\infty}\left(1-\frac{1}{\sqrt{n}}\right)^n](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/5/6/8/56886fd74c4ad7f8565c3662dd26cee982.png)
.
Если представить общий член так
![n^2\left(1-\frac{1}{\sqrt{n}}\right)^n\frac{1}{n^2} n^2\left(1-\frac{1}{\sqrt{n}}\right)^n\frac{1}{n^2}](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/9/e/4/9e4ae17ae7f7e488ad84afdb56f42eb882.png)
, то можно ли применить признак Дирихле ???
Так как последовательность
![n^2\left(1-\frac{1}{\sqrt{n}}\right)^n n^2\left(1-\frac{1}{\sqrt{n}}\right)^n](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/6/9/4/6947eb5e0753aca9f05ef3fb917ac12082.png)
стремиться к нулю:
![\lim\limits_{n\to\infty}n^2\left(1-\frac{1}{\sqrt{n}}\right)^n=\lim\limits_{n\to\infty}n^2\left(1-\frac{1}{\sqrt{n}}\right)^{-\sqrt{n}\cdot(-\sqrt{n})}=\lim\limits_{n\to\infty}n^2e^{-\sqrt{n}}= \lim\limits_{n\to\infty}n^2\left(1-\frac{1}{\sqrt{n}}\right)^n=\lim\limits_{n\to\infty}n^2\left(1-\frac{1}{\sqrt{n}}\right)^{-\sqrt{n}\cdot(-\sqrt{n})}=\lim\limits_{n\to\infty}n^2e^{-\sqrt{n}}=](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/c/2/3/c23a2a054634c7027bb4011246b7bc8d82.png)
![=\lim\limits_{n\to\infty}\frac{n^2}{e^{\sqrt{n}}}=\left|\begin{gathered}n=t^2,\hfill\\n\to\infty,\hfill\\t\to\infty\hfill\\\end{gathered}\right|=\mathop{\lim}\limits_{t\to\infty}\frac{t^4}{e^t}=\lim\limits_{t\to\infty}\frac{\operatorname{d}^4(t^4)}{\operatorname{d}^4(e^t)}=\lim}\limits_{t\to\infty}\frac{24}{e^t}=0. =\lim\limits_{n\to\infty}\frac{n^2}{e^{\sqrt{n}}}=\left|\begin{gathered}n=t^2,\hfill\\n\to\infty,\hfill\\t\to\infty\hfill\\\end{gathered}\right|=\mathop{\lim}\limits_{t\to\infty}\frac{t^4}{e^t}=\lim\limits_{t\to\infty}\frac{\operatorname{d}^4(t^4)}{\operatorname{d}^4(e^t)}=\lim}\limits_{t\to\infty}\frac{24}{e^t}=0.](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/7/1/8/7189a60c6decbaac1f950b9e9efb04bb82.png)
А ряд обратных квадратов сходится.