Признаки сходимости рядов Абеля и Дирихле

[Dext]

Уважаемые математики, объясните как применять на практике признаки сходимости числовых рядов Абеля и Дирихле?

У меня в книге даны такие определения этих признаков:

Признак Абеля. Ряд \sum{a_nb_n} сходится, если сходится ряд \sum{a_n}, а последовательность (b_n) монотонна и ограничена.

Признак Дирихле. Ряд \sum{a_nb_n} сходится, если последовательность (b_n), начиная с некоторого номера, монотонно стремится к нулю, а последовательность частичных сумм ряда \sum{a_n} ограничена.

Плохо понимаю , что значит "последовательность частичных сумм ряда \sum{a_n} ограничена".

Например, надо исследовать сходимость \sum\limits_{n=1}^{\infty}\frac{arctg\,n}{n^2}.
Я могу в этом случае утверждать, что данный ряд сходится согласно признаку Абеля, так как \sum\limits_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^2} сходится, а последовательность \{arctg\,n\} ограниченна, так как \lim\limits_{n\to+\infty}arctg\,n=\frac{\pi}{2} ???

Или, например, такой ряд \sum\limits_{n=1}^{\infty}\left(1-\frac{1}{\sqrt{n}}\right)^n.

Если представить общий член так n^2\left(1-\frac{1}{\sqrt{n}}\right)^n\frac{1}{n^2}, то можно ли применить признак Дирихле ???

Так как последовательность n^2\left(1-\frac{1}{\sqrt{n}}\right)^n стремиться к нулю:

\lim\limits_{n\to\infty}n^2\left(1-\frac{1}{\sqrt{n}}\right)^n=\lim\limits_{n\to\infty}n^2\left(1-\frac{1}{\sqrt{n}}\right)^{-\sqrt{n}\cdot(-\sqrt{n})}=\lim\limits_{n\to\infty}n^2e^{-\sqrt{n}}=

=\lim\limits_{n\to\infty}\frac{n^2}{e^{\sqrt{n}}}=\left|\begin{gathered}n=t^2,\hfill\\n\to\infty,\hfill\\t\to\infty\hfill\\\end{gathered}\right|=\mathop{\lim}\limits_{t\to\infty}\frac{t^4}{e^t}=\lim\limits_{t\to\infty}\frac{\operatorname{d}^4(t^4)}{\operatorname{d}^4(e^t)}=\lim}\limits_{t\to\infty}\frac{24}{e^t}=0.

А ряд обратных квадратов сходится.

[gris]

Вот применение признака Дирихле:

Ряд $\dfrac 11+ \dfrac 12+\dfrac 13-\dfrac 14-\dfrac 15-\dfrac 16+...$
состоит из почленных произведений соответствующих членов двух расходящихся рядов - гармонического и ряда

$1+1+1-1-1-1+1+1+1-1-1-1+...$, чьи частичные суммы равны
$1;2;3;2;1;0;1;2;3;2;1...$ - то есть ограничены.
По признаку Дирихле исходный ряд сходится, правда, условно.

У любого сходящегося ряда последовательность частных сумм ограничена. Но признак Дирихле расширяет это требование. Последовательность частичных сумм может быть ограничена и для ряда несходящегося.

[ShMaxG]

Dext в сообщении #346470 писал(а):

Я могу в этом случае утверждать, что данный ряд сходится согласно признаку Абеля, так как \sum\limits_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^2} сходится, а последовательность \{arctg\,n\} ограниченна, так как \lim\limits_{n\to+\infty}arctg\,n=\frac{\pi}{2} ???

Да, верно. Здесь Вы воспользовались тем, что сходящаяся последовательность -- ограничена. Впрочем, эта сходимость здесь не важна, ибо арктангес -- в принципе ограниченная функция. Плюс надо упомянуть, что эта последовательность монотонная (ибо таков арктангенс).

Dext в сообщении #346470 писал(а):

Если представить общий член так $n^2\left(1-\frac{1}{\sqrt{n}}\right)^n\frac{1}{n^2}$, то можно ли применить признак Дирихле ???

Так как последовательность$ n^2\left(1-\frac{1}{\sqrt{n}}\right)^n$ стремиться к нулю:

Да, стремится. А почему монотонно? Я, например, попробовал посмотреть на производную соотв. функции $\[f\left( t \right) = {t^2}{\left( {1 - \frac{1} {{\sqrt t }}} \right)^t}\] $ при больших $t$.

И тут тот же самое, что для предыдущего примера. Сходящаяся последовательность ограничена. Но ряд -- это ж предел частичных сумм. Если он сходится, значит ограничена последовательность частичных сумм.

[Dext]

ShMaxG в http://dxdy.ru/post346479.html#p346479 писал(а):

Dext в сообщении #346470 писал(а):

Если представить общий член так $n^2\left(1-\frac{1}{\sqrt{n}}\right)^n\frac{1}{n^2}$, то можно ли применить признак Дирихле ???

Так как последовательность$ n^2\left(1-\frac{1}{\sqrt{n}}\right)^n$ стремиться к нулю:

Да, стремится. А почему монотонно? Я, например, попробовал посмотреть на производную соотв. функции $\[f\left( t \right) = {t^2}{\left( {1 - \frac{1} {{\sqrt t }}} \right)^t}\] $ при больших $t$.

А я посмотрел на график этой функции в Maple, на котором видно, что эта последовательность "начиная с некоторого номера монотонно стремиться к нулю" (примерно с $n=18$).

Так я могу применить к этому ряда признак Дирихле?

[meduza]

Dext
В Антидемидовиче разобраны примеры применения этих признаков

[ShMaxG]

Dext в сообщении #346480 писал(а):

А я посмотрел на график этой функции в Maple, на котором видно, что эта последовательность "начиная с некоторого номера монотонно стремиться к нулю" (примерно с $n=18$).
Так я могу применить к этому ряда признак Дирихле?

Мало ли, что Вы там увидели. а может при $n=100000$ внезапно нарушится эта монотонность? Это не док-во. Но шаг этот проделать можно, чтобы знать, что доказывать.

[Dext]

ShMaxG в сообщении #346544 писал(а):

Dext в сообщении #346480 писал(а):

А я посмотрел на график этой функции в Maple, на котором видно, что эта последовательность "начиная с некоторого номера монотонно стремиться к нулю" (примерно с $n=18$).
Так я могу применить к этому ряда признак Дирихле?

Мало ли, что Вы там увидели. а может при $n=100000$ внезапно нарушится эта монотонность? Это не док-во. Но шаг этот проделать можно, чтобы знать, что доказывать.

То есть надо доказать методами дифференциального исчисления, что эта функция имеет одну точку перегиба (максимум)?

[ShMaxG]

Dext в сообщении #346598 писал(а):

То есть надо доказать методами дифференциального исчисления, что эта функция имеет одну точку перегиба (максимум)?

С чего это вдруг?
Надо доказать монотонность. А я лишь предлагаю способ. Если производная функции $f(t)$ отрицательна при больших $t$, значит она убывает монотонно. Это я и проверяю. Из монотонности $f(t)$ будет следовать монотонность $f(n)$, где $n$ - натуральное число.