О среднем росте учеников в классе (олимпиада 6-8 класс)

[ravil]

Измерялся рост учеников в классе. Измерялся с точностью до одного сантиметра. Без учета роста самого низкого ученика средний рост всех остальных учеников в этом классе составил 147 целых и 3/7 сантиметра. А без учета самого рослого ученика, он составил 148 целых и 4/7 сантиметра. Сказанно, что число учеников в классе не превышает 40. Найти средний рост всех учеников этого класса.


Это олимпиадная задача нашего города. Адрессована к ученикам 6-8-ого класса. Я уже давно не ученик. Олимпиада тоже давно прошла. А задача эта так же давно не дает покоя. Трудность в том, что если допустить опечатку, повлекшую отстутствие какого либо данного, то не могу предположить какого именно данного. При подключении любого дополнительного данного решение становится слишком очевидным. А между тем задача - олимпиадная.
Помогите избавиться от назойливой задачи.

[Sasha2]

Мне кажется, что здесь нужно просто сообразить, что этот средний рост всех учеников заключен между числами $147\frac{3}{7}$ и $148\frac{4}{7}$.
Поэтому, если исходить из точности в один сантиметр, то между этими двумя числами имеется одно лишь целое число, а именно 148 сантиметров.
Если же настаивать на более точном ответе, например с точностью до $\frac{1}{7}$ сантиметра, то тогда можно показать, что всегда можно подобрать так числа (количеством не более 40), что их среднее значение будет равно любому числу из этого промежутка. Разумеется с сохранением условий по средним без крайних.

[Maslov]

ravil в сообщении #346087 писал(а):

Без учета роста самого низкого ученика средний рост всех остальных учеников в этом классе составил 147 целых и 3/7 сантиметра. А без учета самого рослого ученика, он составил 148 целых и 4/7 сантиметра.

А как средний рост без учёта самого рослого может быть больше среднего роста без учёта самого низкого?

[Sasha2]

Да там опечатка просто.
Поменяйте числа местами и все.

[Gravist]

Здесь, ИМХО, весь "фокус" во внимательном прочтении условия!
$n$ учеников в классе. Средний рост $n$ учеников без учёта роста самого маленького 147 целых и 3/7 сантиметра.
Средний рост $n-1$ учеников (т.е. не учитывается "лямка", как единица счёта, но учитывается его рост) - 148 целых и 4/7 сантиметра.

(Оффтоп)

Дальше и считать неохота, да и ночь на дворе...

[Sasha2]

Ну из этих условий, Вы не посчитаете точно средний рост.
Вы можете только оценить разность между самым высоким и самым низким учеником.
А это ничего не даст для ТОЧНОГО решения.

[venco]

А если добавить условие, что у всех учеников разный рост?

[Sasha2]

А это ничего не дает.
Даже при n=3 (при n=2 задача тривиальна) всегда можно подобрать три различных числа числа, так что:
1) Среднее двух наименьших равно $147\frac{3}{7}$
2) Среднее двух наибольших равно $148\frac{4}{7}$
3) Среднее всех трех равно любому заданному числу между первыми двумя.

[venco]

Числа целые, так что $n=7k+1$.

[Maslov]

Для начала хотелось бы понять условие.
Допустим, ученики упорядочены по росту: $a_1 \leq a_2 \leq ... \leq a_n$

Одно из предположений -- опечатка в условии, и правильная формулировка:
$1. \dfrac {\sum\limits_{i=2}^{n} a_i} {n-1} = 148~4/7$
$2. \dfrac {\sum\limits_{i=1}^{n-1} a_i} {n-1} = 147~3/7$

А ещё какие есть варианты?

Предложение Gravista я, к сожалению, не понял, ибо не знаю, что такое "лямка", о которой он пишет.

[Sasha2]

У меня получилась верхняя оценка среднего роста (когда я учел, что все чила целые) $148\frac{19}{55}$.
Отсюда с учетом нижней оценки в 147, окончательный ответ 148.

[Maslov]

Sasha2 в сообщении #346132 писал(а):

У меня получилась верхняя оценка среднего роста (когда я учел, что все чила целые) $148\frac{19}{55}$.
Отсюда с учетом нижней оценки в 147, окончательный ответ 148.

А с чего Вы взяли, что средний рост должен быть целым?

[Батороев]

Если количество учеников $n$, общий рост учеников $L_0$, рост самого высокого $x$, а самого низкого $y$,
то можно составить соотношение:
$\dfrac {x-y}{8}=\dfrac {n-1}{7}$
из которого следует, как справедливо отмечал venco,
что $n=7k+1$ (где $k\leq 5$),
а также, что разница в росте $x-y$ кратна $8$.

Тогда можно составить другие соотношения:
$L_0-x=1032\cdot k$
$L_0-y=1040\cdot k$
$x-y=8k$
$2L_0-(x+y)=2072\cdot k$

Не берусь утверждать, но есть подозрение , что на основе анализа степеней четности членов, входящих в эти выражения,
решение все же можно найти.

[EtCetera]

Батороев
Если я нигде не напутал, то средний рост учеников (в зависимости от $k=1\dots 5$) принадлежит отрезку $\left[\frac{1032k+149}{7k+1};\frac{1040k+147}{7k+1}\right]$, т.е. (объединяя отрезки) $\left[147\frac{17}{36};148\frac{19}{36}\right]$ (что не намного лучше $\left(147\frac{3}{7};148\frac{4}{7}\right)$), и без дополнительных данных выцепить его из этого отрезка не получится.
Правда, все вышенаписанное справедливо, если топикстартер действительно в условии перепутал местами числовые значения (иначе задача вообще не имеет решения).

[Батороев]

EtCetera
Соглашусь, что задача не корректная.
Для любого $k$ можно подобрать разные значения$x$ и $y$ такие, что будут удовлетворять условию, но давать разные ответы.
Например, $k=1$
$n=8$

$x=152$, $y=144$
$L_0 = 1032+152=1040+144 = 1184$

$\dfrac {1184}{8}=148$

$x=153$, $y=145$
$L_0=1032+153=1040+145=1185$

$\dfrac {1185}{8}=148,125$