Что такое функция? (вопрос по терминологии)

[Padawan]

Равны ли функции $f \colon \mathbb R\to\mathbb R$, $f(x)=\sin x$, и $g\colon\mathbb R\to [-1,1]$, $g(x)=\sin x$?

[arseniiv]

Вроде бы
$f = \left\langle\{(x,\ y) \in \mathbb R \times \mathbb R \ |\ y = \sin x\},\ \mathbb R,\ \mathbb R\right\rangle$
$g = \left\langle\{(x,\ y) \in \mathbb R \times [-1;\ 1] \ |\ y = \sin x\},\ \mathbb R,\ [-1;\ 1]\right\rangle$
Хотя самая главная часть тройки одинакова и у $f$, и у $g$, они отличаются именно определением. Но, может, эти случаи всё-таки отождествляют?

[AGu]

Padawan в сообщении #345413 писал(а):

Равны ли функции $f \colon \mathbb R\to\mathbb R$, $f(x)=\sin x$, и $g\colon\mathbb R\to [-1,1]$, $g(x)=\sin x$?

Вопрос вкуса/определений. Кто-то считает функцию $f:X\to Y$ тройкой $\bigl\langle\operatorname{graph}(f),X,Y\bigr\rangle$ (или, что почти то же самое, парой $\bigl\langle\operatorname{graph}(f),Y\bigr\rangle$, если не принимать во внимание «частичные функции» и прочую «экзотику»), а кто-то не различает $f$ и $\operatorname{graph}(f)$. (Если что, я чаще отношу себя к последним и в этом случае считаю, что $f=g$.)

[Padawan]

Но тогда (во втором смысле) нельзя говорить, что функция является биекцией или сюрьекцией, а надо обязательно указывать область значений.

[AGu]

Padawan в сообщении #345473 писал(а):

Но тогда (во втором смысле) нельзя говорить, что функция является биекцией или сюрьекцией, а надо обязательно указывать область значений.

Совершенно верно. Понятия биекции и сюръекции употребимы, если фиксирована область прибытия функции (а не просто ее образ, т.е. множество значений). Впрочем, все эти заморочки в житейской математике легко раскрываются контекстом. Кстати, те, кто не различает $f$ и $\operatorname{graph}(f)$, чаще говорят не просто «биекция», а «биекция $X$ на $Y$» или «биекция между $X$ и $Y$» и т.п. Кроме того, если в тексте возникла запись $f:X\to Y$, то множество $Y$ неявно фиксируется в качестве области прибытия функции $f$, и тем самым термины «биекция» и «сюръекция» становятся употребимыми без уточнений. Словом, дело житейское. Если почему-то нужен четкий формализм (ну, например, область такая — типа теории множеств), то, наверное, стоит выбирать первый подход. Но и он не избавляет от кутерьмы. Например, если считать функцию $f$ тройкой $\langle G,X,Y\rangle$, то вместо $f(x)$ надо писать $G(x)$ либо вводить обозначение $\langle G,X,Y\rangle(x) := G(x)$ и т.д. и т.п. Часто просто договариваются «отождествлять» $f$ и $\langle f,X,Y\rangle$. Дотошный формализм обычно приводит к неудобствам.

[AD]

Как ни крути, $\mathbb{R}\times[-1,1]\subset\mathbb{R}\times\mathbb{R}$.

Я как-то привык считать, что $f$ есть просто любое подмножество $X\times Y$, обладающее известным свойством $\forall x\exists!y(y=f(x))$, а область определения и область значений отсюда одназначно выцарапывается. При таком подходе если $X$ сужать вплоть до получающейся области определения, то функция будет оставаться та же самая; то же самое с областью значений.

[AGu]

AD в сообщении #346019 писал(а):

Я как-то привык считать, что $f$ есть просто любое подмножество $X\times Y$, обладающее известным свойством $\forall x\exists!y(y=f(x))$, а область определения и область значений отсюда одназначно выцарапывается. При таком подходе если $X$ сужать вплоть до получающейся области определения, то функция будет оставаться та же самая; то же самое с областью значений.

Это так, если под "областью значений" понимать образ функции. Вопрос же Padawan'а касается "области прибытия", которую иногда приходится выделять дополнительно -- например, в случае употребления терминов "биекция" и "сюръекция". Если отдельно не фиксировать облать прибытия и всегда считать ее множеством значений (т.е. образом) функции, то формально всякая функция будет сюръекцией.

[Padawan]

Если встать на точку зрения теории категорий, то при $(X_1,Y_1)\neq (X_2,Y_2)$ множенства морфизмов $Hom(X_1,Y_1)\cap Hom(X_2,Y_2)=\varnothing$, или, другими словами, у каждого морфизма есть однозначно определённая область $\mathrm{dom} \ f$ и кообласть $\mathrm{cod} \ f$.

[AGu]

Padawan в сообщении #346189 писал(а):

Если встать на точку зрения теории категорий, то при $(X_1,Y_1)\neq (X_2,Y_2)$ множенства морфизмов $Hom(X_1,Y_1)\cap Hom(X_2,Y_2)=\varnothing$, или, другими словами, у каждого морфизма есть однозначно определённая область $\mathrm{dom} \ f$ и кообласть $\mathrm{cod} \ f$.

Согласен. Это еще один довод в пользу тройки $(f,X,Y)$ (или хотя бы пары $(f,Y)$) супротив голенького $f$ как графика. Но навязывать этот подход я бы все равно не стал. Традиции уже сложились, и неформальное отождествление $(f,X,Y)$ с $f$ раскрывается контекстом.

[Padawan]

Согласен, лучше говорить "$f$ отображает $X$ на $Y$".