Но тогда (во втором смысле) нельзя говорить, что функция является биекцией или сюрьекцией, а надо обязательно указывать область значений.
Совершенно верно. Понятия биекции и сюръекции употребимы, если фиксирована область прибытия функции (а не просто ее образ, т.е. множество значений). Впрочем, все эти заморочки в житейской математике легко раскрываются контекстом. Кстати, те, кто не различает

и

, чаще говорят не просто «биекция», а «биекция

на

» или «биекция между

и

» и т.п. Кроме того, если в тексте возникла запись

, то множество

неявно фиксируется в качестве области прибытия функции

, и тем самым термины «биекция» и «сюръекция» становятся употребимыми без уточнений. Словом, дело житейское. Если почему-то нужен четкий формализм (ну, например, область такая — типа теории множеств), то, наверное, стоит выбирать первый подход. Но и он не избавляет от кутерьмы. Например, если считать функцию

тройкой

, то вместо

надо писать

либо вводить обозначение

и т.д. и т.п. Часто просто договариваются «отождествлять»

и

. Дотошный формализм обычно приводит к неудобствам.