Электрические цепи переменного тока

[Teplorod]

Цитата:

Начальное напряжение на конденсаторе емкости ${C}_{0}$ равно ${V}_{0}$, а конденсатор емкости $C$ не заряжен. Через какое время после замыкания ключа $K$ пробьется конденсатор емкости $C$, если его пробой происходит при напряжении $V$?

Возникла такая проблема, что у меня есть решение этой задачи, написанное в ответах задачника, но у меня не получается понять один момент и поэтому непонятно и само решение. Сначала я напишу это решение, а затем задам вопрос.

Цитата:

Если ${V}_{{C}_{0}}$ и ${V}_{{C}}$ - разности потенциалов соответственно на конденсаторе ${C}_{0}$ и $C$, а $I$ - ток в контуре, тогда $(1) {V}_{{C}_{0}}-{V}_{{C}} =L\frac{dI}{dt}={V}_{0}cos(\omega t)$, (2) $\omega=\sqrt[]{\frac{LC{C}_{0}}{C+{C}_{0}}}$. Но $ (3) ({V}_{0}-{V}_{{C}_{0}}){C}_{0}={V}_{C}C$. Из этих уравнений находим $(4) {V}_{C}={(1+\frac{C}{{C}_{0}})}^{-1}{V}_{0}(1-cos(\omega t)$. Поэтому при $V<2{V}_{0}{(1+\frac{C}{{C}_{0}})}^{-1}$ пробой происходит через время (5) $\tau=\frac{1}{\omega}\left[1-(1+\frac{C}{{C}_{0}})\frac{V}{{V}_{0}} \right]$, а при $V>2{V}_{0}{(1+\frac{C}{{C}_{0}})}^{-1}$ конденсатор емкости $C$ не пробивается.

Так вот проблемы возникли в формуле (1). Первое равенство понятно, но вот $L\frac{dI}{dt}={V}_{0}cos(\omega t)$ непонятно откуда взялось. И следующая (3): если $\omega$- если это частота свободных колебаний в контуре, то я думал что она равна $\frac{1}{\sqrt[]{L{C}_{sum}}}=\sqrt[]{\frac{C+{C}_{0}}{LC{C}_{0}}}$, но та величина почему-то отличается.

Помогите разобраться в этом.

[TGX]

1. Почитайте про переходные процессы. Для данной цепи составляется дифф. уравнение, решением которого и является гармоническое напряжение. Ну в принципе это и логично из физики.

2. Тут вероятно опечатка.

[whiterussian]

Никаких опечаток нет. У вас ведь 2 конденсатора, соединеннух последовательно.

Ах... только сейчас увидела... $\omega^{-1}$

[e7e5]

попробуйте идти от конца, проверяя полученные результаты.
Относительно формулы 2)
Все просто. Методы разные, но например если записать характеристическое входное сопротивление цепи
$Z(p)=-pL+\frac {1} {pC_0} +\frac {1} {pC}$
$p^2=\omega$, ну и получается результат 2)

-- Вт авг 17, 2010 23:19:11 --

конечно решить нужно простое уравнение
$Z(p)=0$

[TGX]

e7e5 в сообщении #344963 писал(а):

попробуйте идти от конца, проверяя полученные результаты.
Относительно формулы 2)
Все просто. Методы разные, но например если записать характеристическое входное сопротивление цепи
$Z(p)=-pL+\frac {1} {pC_0} +\frac {1} {pC}$
$p^2=\omega$, ну и получается результат 2)

-- Вт авг 17, 2010 23:19:11 --

конечно решить нужно простое уравнение
$Z(p)=0$

в том то и дело, что каким способом не пользуйся получается перевёрнутый ответ. Не опечатка ли?

[e7e5]

Опечатка или нет - все равно, ничто не мешает проверять, разворачивать от конца полученные формулы. Полученный результат можно будет проверить
1) на размерность
2) на предельные случаи

[_hum_]

А если он школьник - какие еще диффуры...
Просто нужно рассмотреть колебательный контур с эффективным конденсатором, включающим в себя два последовательно соединенных конденсатора. В этом случае напряжение V* на эффективном конденсаторе в начальный момент времени равно V0, а значит, V*(t) = V0cos(wt). Чтобы получить теперь (1), нужно расписать V*(t) через падения напряжений на каждом из конденсаторов.

[Teplorod]

То есть ${V}_{0}cos(\omega t)$ было получено таким образом: говорится факт о том, что напряжение меняется синусоидально, затем так как напряжения на эффективном конденсаторе и катушке индуктивности равны, а начальное напряжение ${V}_{0}$ мы и получаем $(1)$. Я правильно понял?

e7e5
А не могли бы вы сказать где прочитать про характеристические входные сопротивления (просто так как я не понимаю, что это, то и не понятно почему это надо приравнивать к нулю, а способ вроде интересный), я вчера пытался искать это в гугле, но ничего путного не нашел.

[TGX]

Teplorod в сообщении #345049 писал(а):

То есть ${V}_{0}cos(\omega t)$ было получено таким образом: говорится факт о том, что напряжение меняется синусоидально, затем так как напряжения на эффективном конденсаторе и катушке индуктивности равны, а начальное напряжение ${V}_{0}$ мы и получаем $(1)$. Я правильно понял?

e7e5
А не могли бы вы сказать где прочитать про характеристические входные сопротивления (просто так как я не понимаю, что это, то и не понятно почему это надо приравнивать к нулю, а способ вроде интересный), я вчера пытался искать это в гугле, но ничего путного не нашел.

почитайте вот тут:

• http://ru.wikipedia.org/wiki/Переходной_процесс_(электроника)
• http://dvo.sut.ru/libr/tec/117serg/1.htm
• http://eelib.narod.ru/toe/Novg_2.01/08/Ct08-3.htm

Если найти эквивалентное сопротивление относительно любой точки разрыва этого контура (например ключ) - то мы получим характеристическое сопротивление. Почему приравниваем к 0? Потому что на резонансной частоте сопротивление последовательного колебательного контура равно 0 (контур без активных потерь, иначе будет равно активному сопротивлению). Рисунок ниже.

[Teplorod]

TGX

Спасибо вам. Я начал читать с третьей ссылки (http://eelib.narod.ru/toe/Novg_2.01/08/Ct08-3.htm), про эквивалентные сопротивления все стало понятно. Также там есть такая фраза:

Цитата:

На резонансной частоте оба напряжения UC0 и UL0 равны и, полностью компенсируют друг друга

.
Насколько я понимаю этой фразой и поясняется то, что я сказал раньше, т.к там рассматривается последовательно соединенная катушка индуктивности и конденсатор, а в данном случае два последовательно соединенных конденсатора всегда можно заменить одним

Цитата:

То есть ${V}_{0}cos(\omega t)$ было получено таким образом: говорится факт о том, что напряжение меняется синусоидально, затем так как напряжения на эффективном конденсаторе и катушке индуктивности равны, а начальное напряжение ${V}_{0}$ мы и получаем $(1)$.

[_hum_]

Teplorod в сообщении #345049 писал(а):

То есть ${V}_{0}cos(\omega t)$ было получено таким образом: говорится факт о том, что напряжение меняется синусоидально, затем так как напряжения на эффективном конденсаторе и катушке индуктивности равны, а начальное напряжение ${V}_{0}$ мы и получаем $(1)$. Я правильно понял?

Да, если под "говорится факт о том, что напряжение меняется синусоидально" подразумевался известный со школы факт, что в колебательном контуре с одним конденсатором (или, что равносильно, несколькими, но рассматриваемыми как один эффективный) и катушкой напряжение на конденсаторе меняется синусоидально.

[Teplorod]

Да я имел в виду это. Спасибо за ответы.

[мат-ламер]

Лично я для себя такие вещи изучал по книге Баксакова - Радиотехнические цепи и сигналы.

[TGX]

мат-ламер в сообщении #345252 писал(а):

Лично я для себя такие вещи изучал по книге Баксакова - Радиотехнические цепи и сигналы.

отличная книга =)