Лемма о неподвижной точке.

[ewert]

Это высказывание

hurtsy в сообщении #344256 писал(а):

Но, при всё при том $f(x)>x$ для $x\in [a,b]$.

не соответствует этому:

hurtsy в сообщении #344300 писал(а):

RIP в сообщении #58990 писал(а):

Пусть $A=\{x\in[a;b]\mid f(x)>x\}$, $x_0=\sup A$. Тогда $f(x_0)=x_0$.

Попытайтесь прочесть их вслух, чтоб понять разницу.

[hurtsy]

ewert в сообщении #344356 писал(а):

Попытайтесь прочесть их вслух, чтоб понять разницу.

Прошу пощения, за то что я не выполнил Ваше предыдущее задание. По поводу нового, могу сказать, что чтение вслух не может внести однозначность в то, что неоднозначно в формальном изложении. Попробуйте сказать что Вы имеете в виду словами. Я не обидчивый, но если можно ближе к теме. С уважением,

[ewert]

Ещё раз. Формулировка

hurtsy в сообщении #344256 писал(а):

$f(x)>x$ для $x\in [a,b]$

не совпадает с формулировкой

RIP в сообщении #58990 писал(а):

$A=\{x\in[a;b]\mid f(x)>x\}$

При этом: если вторая имеет точный смысл, то первая -- не имеет. Попытайтесь сформулировать аккуратно, что Вы имели в виду.

[hurtsy]

Словесно обе формулировки я читаю (я понимаю) для всех х из отрезка от $a$ до $b$ включая концы отрезка, рассматриваются неубывающие функции(по условию леммы) $f(x)>x$ c краевыми условиями в концах отрезка(по условию леммы).
Во второй формулировке множество поименновано $A$.
С уважением.

[ewert]

hurtsy в сообщении #344375 писал(а):

для всех х из отрезка от $a$ до $b$ включая концы отрезка, рассматриваются неубывающие функции

Дальше ещё хуже, но уже и это никуда не годится. Сочетание слов "для всех иксов рассматриваются функции" лишено смысла.

[hurtsy]

ewert в сообщении #344378 писал(а):

Дальше ещё хуже, но уже и это никуда не годится. Сочетание слов "для всех иксов рассматриваются функции" лишено смысла.

Вот тут Вы меня убедили. Раньше у меня были сомнения, теперь(под угрозой лишения смысла) я согласен. Итак существует неподвижная точка $x_0$ $ a<x_0<b$. В этой точке $f(x_0)=x_0$ и $x_0=\sup A$. Можете не проверять - это сказал RIP. В интервале $(x_0, b)$ возьмем произвольную точку $x_1$. Из неубывания функции имеем $f(x_0)<f(x_1)$. Имеет смысл применить Лемму к интервалу $[x_1,b]$. Имеем неподвижную точку $x_{1_0}$. Из произвольности точки $x_1$ следует все точки интервала $(x_0, b)$ неподвижны.
Если Вы дочитали до этого места ,то спасибо за внимание и за науку о смысле. С уважением,

[CowboyHugges]

hurtsy в сообщении #344429 писал(а):

В интервале $(x_0, b)$ возьмем произвольную точку $x_1$. Из неубывания функции имеем $f(x_0)<f(x_1)$. Имеет смысл применить Лемму к интервалу $[x_1,b]$.

Мы не можем применить лемму, т.к. по условию $f(a)>a$, а у нас $x_1\leq f(x_1)$.

[hurtsy]

CowboyHugges в сообщении #344439 писал(а):

hurtsy в сообщении #344429 писал(а):

В интервале $(x_0, b)$ возьмем произвольную точку $x_1$. Из неубывания функции имеем $f(x_0)<f(x_1)$. Имеет смысл применить Лемму к интервалу $[x_1,b]$.

Мы не можем применить лемму, т.к. по условию $f(a)>a$, а у нас $x_1\leq f(x_1)$.

Не-а. Меня ewert научил не отклоняться от первоисточников

RIP в сообщении #58990 писал(а):

Пусть $A=\{x\in[a;b]\mid f(x)>x\}$, $x_0=\sup A$. Тогда $f(x_0)=x_0$.

Замечаете $f(x)>x$.
Я подозреваю( но это строго между нами), что и в краевых условиях допустимы нестрогие неравенства. Но по-моему RIP ничего об этом не говорил. С уважением.

[ewert]

hurtsy в сообщении #344429 писал(а):

Из неубывания функции имеем $f(x_0)<f(x_1)$. Имеет смысл применить Лемму к интервалу $[x_1,b]$.

Не имеет. Во-первых, из $f(x_0)<f(x_1)$ ни в каком смысле не следует применимость леммы к Вашему великолепному промежутку. Во-вторых, у Вас очередной сбой в логике: из того, что гарантировано существование хотя бы одной "хорошей" точки -- ни в коей мере не следует, что не могут существовать и другие точки, не менее замечательные.

hurtsy в сообщении #344448 писал(а):

Я подозреваю( но это строго между нами), что и в краевых условиях допустимы нестрогие неравенства.

И совершенно напрасно подозреваете. Это утверждение было сформулировано в этой же ветке буквально несколькими постами назад, причём совершенно открытым текстом. Впрочем,к делу это не относится.

[CowboyHugges]

hurtsy
"Первоисточник" - это текст леммы, поэтому лемму к Вашему $[x_1,b]$ применить нельзя, она не удовлетворяет условие леммы. Ну и наконец запись

hurtsy в сообщении #344448 писал(а):

Пусть $A=\{x\in[a;b]\mid f(x)>x\}$

Означает дословно следующее: "рассмотрим множество $A$, состоящее из тех точек $[a,b]$ для которых $f(x)>x$". Нигде не сказано что ВСЕ точки $[a,b]$ удовлетворяют условию $f(x)>x$.

[hurtsy]

Цитата:

Ну и наконец запись

hurtsy в сообщении #344448 писал(а):

Пусть $A=\{x\in[a;b]\mid f(x)>x\}$

Означает дословно следующее: "рассмотрим множество $A$, состоящее из тех точек $[a,b]$ для которых $f(x)>x$". Нигде не сказано что ВСЕ точки $[a,b]$ удовлетворяют условию $f(x)>x$.

Это и есть "тайна золотого ключика" которую так защищал ewert
Тогда сообщите, как читать $\sup A$, если А некое подмножество $[a,b]$ и возможно без унаследованой упорядоченности. С уважением,