Интеграл от дзета-функции Римана

[e7e5]

Оценить разность
$\int_{2}^{3} \zeta (s) ds - \int_{3}^{4} \zeta (s) ds$

[Профессор Снэйп]

Посчитайте эту разность для каждого слагаемого в определении $\zeta$.

[e7e5]

Профессор Снэйп в сообщении #343275 писал(а):

Посчитайте эту разность для каждого слагаемого в определении $\zeta$.

По определению
$\zeta(s)=\sum_n n^{-s}$
Как именно считать разности?

Предел интегральных сумм $S_m$ не зависит от способа разбиения отрезков $[2;3]$ и $[3;4]$ на $m$ частей и выбора точек разбиения $\psi _i$, $\mu _i$
Например, разобьем первый отерзок на $m$ равных частей. для интегральной суммы получим:

$S_m= \sum_{k=1}^{m} \zeta(\psi_k) \Delta x_k$,
$\psi_k=k(3-2)/m=k/m$, $\Delta x_k=1/m$

[gris]

А что значит оценить?
Значения функции в точках 2, 3 и 4 известны. По трапециям получается разность 0,3. Можно параболу натянуть и посчитать погрешность. Или Вам нужно в теоретическом смысле?

[e7e5]

gris в сообщении #343350 писал(а):

А что значит оценить?
Или Вам нужно в теоретическом смысле?

Да, именно в теоретическом смысле, для более ясного понимания общих свойств $\zeta(s)$.

[mihailm]

e7e5 в сообщении #343353 писал(а):

Да, именно в теоретическом смысле, для более ясного понимания общих свойств $\zeta(s)$.

почленно не пробовали интегрировать?
(может это имел в виду Профессор Снэйп)

[e7e5]

mihailm в сообщении #343362 писал(а):

почленно не пробовали интегрировать?
(может это имел в виду Профессор Снэйп)

Как именно?

[arseniiv]

Если я правильно понял и набрал в MathType, имеется ввиду что-то такое (не знаю, верно ли):
$\int\limits_2^3 {\zeta (s)ds} + \int\limits_4^3 {\zeta (s)ds} = \int\limits_2^3 {(1 + 2^{ - s} + 3^{ - s} + \ldots )ds} + \int\limits_4^3 {( \ldots )ds} =$
$\left. {(s - 2^{ - s} /\ln 2 - 3^{ - s} /\ln 3 - \ldots )} \right|_2^3 + \left. {( \ldots )} \right|_4^3 =$
$(3 - 2 + 3 - 4) - (2^{ - 3} - 2^{ - 2} + 2^{ - 3} - 2^{ - 4} )/\ln 2 - (3^{ - 3} - 3^{ - 2} + 3^{ - 3} - 3^{ - 4} )/\ln 3 - \ldots =$
$- 3 + \sum\limits_{n = 2}^\infty {\frac{{n^{ - 2} + n^{ - 4} - 2n^{ - 3} }}{{\ln n}}}$